Номер 4, страница 458 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

7. Изучение капиллярных явлений, обусловленных поверхностным натяжением жидкости. Лабораторные работы - номер 4, страница 458.

Условие.

4. Рассчитайте диаметр капилляров по формуле (4). Для воды

$\sigma \pm \Delta \sigma = (7,3 \pm 0,05) \cdot 10^{-2} \frac{\text{Н}}{\text{М}}$

Решение.

Для решения данной задачи необходимо использовать формулу (4), которая не приведена в тексте вопроса. Предположим, что речь идет о формуле для высоты капиллярного поднятия жидкости (законе Жюрена), так как требуется найти диаметр капилляров.

Закон Жюрена для высоты $h$ поднятия жидкости в капилляре радиусом $r$ имеет вид:

$h = \frac{2\sigma \cos\theta}{\rho g r}$

где $ \sigma $ – коэффициент поверхностного натяжения, $ \rho $ – плотность жидкости, $ g $ – ускорение свободного падения, $ \theta $ – краевой угол смачивания. Для воды в стеклянном капилляре наблюдается полное смачивание, поэтому $ \theta \approx 0 $ и $ \cos\theta \approx 1 $.

С учетом того, что диаметр капилляра $ d = 2r $, выразим его из формулы:

$ d = 2r = \frac{4\sigma}{\rho g h} $

Для дальнейших расчетов необходима величина высоты поднятия воды в капилляре $h$, которая в условии не задана. Решение будет представлено в общем виде.

Дано:

Коэффициент поверхностного натяжения воды: $ \sigma \pm \Delta\sigma = (7,3 \pm 0,05) \cdot 10^{-2} \frac{Н}{м} $
Плотность воды (при н.у.): $ \rho \approx 1000 \frac{кг}{м^3} $
Ускорение свободного падения: $ g \approx 9,8 \frac{м}{с^2} $
Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$ d \pm \Delta d $ — диаметр капилляра и его погрешность.

Решение:

Подставим известные значения в выведенную формулу для диаметра, оставив высоту $h$ в качестве переменной:

$ d = \frac{4\sigma}{\rho g h} = \frac{4 \cdot 7,3 \cdot 10^{-2} \frac{Н}{м}}{1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 9,8 \frac{м}{с^2} \cdot h} = \frac{29,2 \cdot 10^{-2}}{9800 \cdot h} \approx \frac{2,98 \cdot 10^{-5}}{h} $ (м)

Теперь рассчитаем погрешность $ \Delta d $. Общая погрешность зависит от погрешностей всех измеряемых величин в формуле ($ \sigma, \rho, g, h $). Поскольку в условии дана только погрешность для поверхностного натяжения $ \Delta\sigma $, мы можем рассчитать вклад этой погрешности в общую ошибку.

Относительная погрешность диаметра, обусловленная погрешностью $ \sigma $, вычисляется как:

$ \varepsilon_d \approx \varepsilon_\sigma = \frac{\Delta\sigma}{\sigma} $

Подставим числовые значения:

$ \varepsilon_\sigma = \frac{0,05 \cdot 10^{-2}}{7,3 \cdot 10^{-2}} = \frac{0,05}{7,3} \approx 0,00685 $

Теперь найдем абсолютную погрешность диаметра $ \Delta d $:

$ \Delta d = d \cdot \varepsilon_\sigma \approx \frac{2,98 \cdot 10^{-5}}{h} \cdot 0,00685 \approx \frac{2,04 \cdot 10^{-7}}{h} $ (м)

Округлим погрешность до одной значащей цифры: $ \Delta d \approx \frac{2 \cdot 10^{-7}}{h} $ (м).

Тогда значение диаметра нужно округлить до того же знака после запятой.$ d = \frac{2,98 \cdot 10^{-5}}{h} = \frac{29,8 \cdot 10^{-6}}{h} $ (м).$ \Delta d = \frac{2 \cdot 10^{-7}}{h} = \frac{0,2 \cdot 10^{-6}}{h} $ (м).

Таким образом, результат можно записать как $ d \pm \Delta d = \frac{(29,8 \pm 0,2) \cdot 10^{-6}}{h} $ (м).

Для получения конкретного численного ответа необходимо измерить или знать высоту подъема жидкости $h$ в капилляре.

Ответ: Диаметр капилляра в зависимости от высоты подъема воды $ h $ рассчитывается по формуле $ d = \frac{4\sigma}{\rho g h} $. С учетом заданных значений и их погрешности результат равен $ d \pm \Delta d = \frac{(29,8 \pm 0,2) \cdot 10^{-6}}{h} $ метров, где $ h $ - высота подъема воды в метрах.