Номер 5, страница 458 - гдз по физике 10 класс учебник Касьянов

7. Изучение капиллярных явлений, обусловленных поверхностным натяжением жидкости. Лабораторные работы - номер 5, страница 458.

Условие.

5. Рассчитайте абсолютные погрешности $\Delta D_1$ и $\Delta D_2$ при косвенном измерении диаметра капилляров.

$\Delta D_1 = D_1 \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h_1}{h_1} \right)$, $\Delta D_2 = D_2 \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h_2}{h_2} \right)$.

Погрешностями $\Delta g$ и $\Delta \rho$ можно пренебречь.

Решение.

Решение

Задачей является расчет (в данном контексте — теоретический вывод) формул для абсолютных погрешностей $\Delta D_1$ и $\Delta D_2$ при косвенном измерении диаметров капилляров. Данные формулы выводятся на основе физического закона, описывающего подъем жидкости в капилляре (закон Жюрена), и общих правил расчета погрешностей косвенных измерений.

1. Вывод рабочей формулы для диаметра капилляра.

Диаметр капилляра $D$ определяется из условия равновесия столбика жидкости высотой $h$, поднявшегося в капилляре. Сила поверхностного натяжения $F_{\sigma}$, действующая вверх по периметру смачивания, уравновешивается силой тяжести $F_{g}$ столбика жидкости.

Сила поверхностного натяжения: $F_{\sigma} = \pi D \sigma \cos \theta$, где $\sigma$ – коэффициент поверхностного натяжения жидкости, а $\theta$ – краевой угол смачивания. Для полного смачивания (например, вода в чистом стеклянном капилляре) $\cos \theta \approx 1$, и формула упрощается: $F_{\sigma} = \pi D \sigma$.

Сила тяжести столбика жидкости: $F_{g} = mg = \rho V g$. Объем столбика жидкости (цилиндра) $V = \frac{\pi D^2}{4} h$. Таким образом, сила тяжести: $F_{g} = \rho \left( \frac{\pi D^2}{4} h \right) g$, где $\rho$ – плотность жидкости, а $g$ – ускорение свободного падения.

Приравнивая силы в состоянии равновесия $F_{\sigma} = F_{g}$:$\pi D \sigma = \rho g \frac{\pi D^2}{4} h$

Выражая из этого уравнения диаметр $D$, получаем расчетную формулу для косвенного измерения:$D = \frac{4\sigma}{\rho g h}$

2. Вывод формулы для погрешности.

Поскольку диаметр $D$ вычисляется на основе измерений других величин ($\sigma$, $h$, $\rho$, $g$), его погрешность $\Delta D$ является погрешностью косвенного измерения. Для нахождения максимальной абсолютной погрешности $\Delta D$ сначала найдем максимальную относительную погрешность $\frac{\Delta D}{D}$. Для функции, представляющей собой произведение и частное, относительная погрешность равна сумме относительных погрешностей измеряемых величин:$\frac{\Delta D}{D} = \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta \rho}{\rho} + \frac{\Delta g}{g} + \frac{\Delta h}{h}$

В условии задачи указано, что погрешностями $\Delta g$ и $\Delta \rho$ можно пренебречь. Это означает, что мы принимаем их вклад в общую погрешность равным нулю ($\frac{\Delta \rho}{\rho} \approx 0$ и $\frac{\Delta g}{g} \approx 0$).

С учетом этого упрощения формула для относительной погрешности диаметра капилляра принимает вид:$\frac{\Delta D}{D} = \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h}{h}$

Абсолютная погрешность $\Delta D$ связана с относительной погрешностью соотношением $\Delta D = D \cdot \frac{\Delta D}{D}$. Таким образом, общая формула для абсолютной погрешности диаметра:$\Delta D = D \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h}{h} \right)$

3. Применение формулы к двум капиллярам.

Применяя эту общую формулу для двух разных капилляров (с индексами 1 и 2), мы получаем выражения, приведенные в условии задачи. Для первого капилляра с диаметром $D_1$ и высотой подъема жидкости $h_1$ (с погрешностью $\Delta h_1$):$\Delta D_1 = D_1 \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h_1}{h_1} \right)$

Для второго капилляра с диаметром $D_2$ и высотой подъема жидкости $h_2$ (с погрешностью $\Delta h_2$):$\Delta D_2 = D_2 \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h_2}{h_2} \right)$

Таким образом, приведенные в задаче формулы являются следствием применения стандартного метода расчета погрешностей косвенных измерений к формуле для диаметра капилляра, полученной из закона Жюрена, с учетом указанных в условии пренебрежений.

Ответ: Вывод формул, приведенных в условии, основан на законе Жюрена для капиллярного подъема жидкости ($D = \frac{4\sigma}{\rho g h}$) и правиле сложения относительных погрешностей для косвенных измерений. При пренебрежении погрешностями $\Delta \rho$ и $\Delta g$, относительная погрешность диаметра равна $\frac{\Delta D}{D} = \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h}{h}$. Отсюда следуют искомые формулы для абсолютных погрешностей:$\Delta D_1 = D_1 \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h_1}{h_1} \right)$ и $\Delta D_2 = D_2 \left( \frac{\Delta \sigma}{\sigma} + \frac{\Delta h_2}{h_2} \right)$.