Номер 8, страница 19 - гдз по физике 10 класс учебник Казахбаева, Кронгарт

*8. Постройте график скорости для тела, движущегося с ускорением $3 \, \text{м/с}^2$ при начальной скорости, равной $2 \, \text{м/с}$. Определите мгновенную скорость и пройденный путь за время, равное $4 \, \text{с}$ от начала движения.

Дано:

Ускорение $a = 3 \text{ м/с}^2$

Начальная скорость $v_0 = 2 \text{ м/с}$

Время $t = 4 \text{ с}$

Все данные предоставлены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

1. График скорости $v(t)$.

2. Мгновенную скорость $v$ в момент времени $t = 4 \text{ с}$.

3. Пройденный путь $s$ за время $t = 4 \text{ с}$.

Решение:

1. Построение графика скорости

Движение тела является равноускоренным, так как его ускорение постоянно. Зависимость скорости от времени при таком движении описывается линейным уравнением:

$v(t) = v_0 + at$

Подставим в это уравнение данные из условия задачи:

$v(t) = 2 + 3t$

Графиком этой функции является прямая линия. Для её построения на координатной плоскости $(t, v)$ достаточно найти координаты двух любых точек. Возьмём начальный момент времени и момент времени, указанный в задаче.

При $t_1 = 0 \text{ с}$: $v_1 = 2 + 3 \cdot 0 = 2 \text{ м/с}$. Координаты первой точки: $(0; 2)$.

При $t_2 = 4 \text{ с}$: $v_2 = 2 + 3 \cdot 4 = 14 \text{ м/с}$. Координаты второй точки: $(4; 14)$.

Таким образом, график скорости — это прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(4; 14)$. По оси абсцисс откладывается время $t$ в секундах, по оси ординат — скорость $v$ в м/с.

2. Определение мгновенной скорости

Мгновенную скорость тела в момент времени $t = 4 \text{ с}$ мы уже вычислили при построении графика. Воспользуемся уравнением скорости:

$v = v_0 + at$

$v(4 \text{ с}) = 2 \text{ м/с} + 3 \text{ м/с}^2 \cdot 4 \text{ с} = 2 + 12 = 14 \text{ м/с}$.

Ответ: мгновенная скорость тела через 4 с от начала движения составит $14 \text{ м/с}$.

3. Определение пройденного пути

Пройденный путь при равноускоренном прямолинейном движении вычисляется по формуле:

$s = v_0 t + \frac{at^2}{2}$

Подставим в неё наши значения:

$s = (2 \text{ м/с} \cdot 4 \text{ с}) + \frac{3 \text{ м/с}^2 \cdot (4 \text{ с})^2}{2} = 8 \text{ м} + \frac{3 \cdot 16}{2} \text{ м} = 8 \text{ м} + 24 \text{ м} = 32 \text{ м}$.

Также пройденный путь можно определить как площадь фигуры под графиком скорости. Эта фигура является трапецией с основаниями $v_0 = 2 \text{ м/с}$, $v = 14 \text{ м/с}$ и высотой $t = 4 \text{ с}$.

$s = \frac{v_0 + v}{2} t = \frac{2 \text{ м/с} + 14 \text{ м/с}}{2} \cdot 4 \text{ с} = \frac{16}{2} \cdot 4 \text{ м} = 8 \cdot 4 \text{ м} = 32 \text{ м}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: пройденный путь за 4 с равен $32 \text{ м}$.