Номер 2, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*2. Определите среднюю плотность планеты, если на ее экваторе пружинные весы показывают на 20% меньший вес, чем на полюсе. Длительность суток на планете 6 ч.

(Ответ: $1500 \text{ кг/м}^3$)

*2 Дано:

Уменьшение веса на экваторе, $k = 20\% = 0.2$

Длительность суток на планете, $T = 6 \text{ ч}$ $T = 6 \text{ ч} = 6 \cdot 3600 \text{ с} = 21600 \text{ с}$

Найти: $\rho$ - среднюю плотность планеты

Решение:

Вес тела, измеренный пружинными весами, представляет собой силу реакции опоры (в данном случае, силу упругости пружины), действующую на тело.

На полюсе планеты тело не участвует во вращательном движении вокруг оси планеты, поэтому его вес $P_п$ равен силе гравитационного притяжения: $P_п = F_g = mg$ где $\text{m}$ – масса тела, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения на поверхности планеты.

На экваторе тело вращается вместе с планетой. Для поддержания этого кругового движения необходима центростремительная сила, которая создается разностью между силой гравитационного притяжения и силой реакции опоры (весом $P_э$). Второй закон Ньютона для тела на экваторе имеет вид: $F_g - P_э = ma_ц$

Отсюда вес на экваторе: $P_э = F_g - ma_ц = mg - ma_ц$ где $a_ц$ – центростремительное ускорение. Оно определяется по формуле $a_ц = \omega^2 R$, где $\text{R}$ – радиус планеты, а $\omega$ – ее угловая скорость вращения. Угловая скорость связана с периодом вращения $\text{T}$ (длительностью суток) соотношением $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

Следовательно, $a_ц = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$.

По условию, вес на экваторе на 20% меньше, чем на полюсе: $P_э = P_п - 0.2 P_п = 0.8 P_п$

Подставим выражения для весов $P_п$ и $P_э$: $mg - ma_ц = 0.8(mg)$

Сократим массу тела $\text{m}$: $g - a_ц = 0.8g$ $0.2g = a_ц$

Теперь заменим $\text{g}$ и $a_ц$ их формулами. Ускорение свободного падения $g = \frac{GM}{R^2}$, где $\text{G}$ – гравитационная постоянная, $\text{M}$ – масса планеты. $0.2 \frac{GM}{R^2} = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Массу планеты $\text{M}$ можно выразить через ее среднюю плотность $\rho$ и объем $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ (считая планету шаром): $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$

Подставим это выражение в наше уравнение: $0.2 \frac{G}{R^2} \left(\rho \frac{4}{3}\pi R^3\right) = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Упростим левую часть: $0.2 \cdot G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$

Сократим обе части уравнения на $\text{4}$, $\pi$ и $\text{R}$: $0.2 \cdot G \cdot \rho \cdot \frac{1}{3} = \frac{\pi}{T^2}$

Выразим искомую плотность $\rho$: $\rho = \frac{3\pi}{0.2 \cdot G \cdot T^2}$

Подставим числовые значения, используя $G \approx 6.67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$ и $\pi \approx 3.14$: $\rho = \frac{3 \cdot 3.14}{0.2 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot (21600)^2} = \frac{9.42}{0.2 \cdot (6.67 \cdot 10^{-11}) \cdot 4.6656 \cdot 10^8}$ $\rho = \frac{9.42}{6.224 \cdot 10^{-3}} \approx 1513.5 \text{ кг/м}^3$

Округляя результат, получаем значение около $1500 \text{ кг/м}^3$.

Ответ: $1500 \text{ кг/м}^3$.