Номер 5, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*5. Горка, представляющая собой дугу окружности радиусом 4 м, плавно переходит в горизонтальную плоскость (рис. 13.6). Поверхность горки гладкая, а горизонтальная поверхность — шероховатая, с коэффициентом 0,1. Девочка массой 40 кг, съехав с горки на санках, остановилась на расстоянии 30 м от ее конца. Чему равен вес девочки в точке А? На какой высоте $\text{h}$ девочка испытает двухкратную перегрузку?

(Ответ: $P_A = 1 \text{ кН}$; $h = 2 \text{ м}$)

Рис. 13.6

Дано:

Радиус дуги окружности, $R = 4 \text{ м}$

Коэффициент трения на горизонтальной поверхности, $\mu = 0.1$

Масса девочки с санками, $m = 40 \text{ кг}$

Расстояние, пройденное до остановки, $S = 30 \text{ м}$

Ускорение свободного падения, $g = 10 \text{ м/с}^2$ (принимаем для удобства расчетов и соответствия с ответом)

Найти:

Вес девочки в точке А, $P_A$

Высоту $\text{h}$, при которой возникает двухкратная перегрузка

Решение:

Задача состоит из двух независимых частей.

Чему равен вес девочки в точке А?

Вес тела, движущегося по вогнутой дуге окружности, в нижней точке (точке А) определяется как сила реакции опоры $N_A$. Согласно второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх к центру кривизны:

$N_A - mg = \frac{mv_A^2}{R}$

где $v_A$ — скорость девочки в точке А. Вес $P_A$ равен по модулю силе реакции опоры $N_A$:

$P_A = N_A = mg + \frac{mv_A^2}{R}$

Чтобы найти скорость $v_A$, воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии для движения по шероховатой горизонтальной поверхности. Девочка останавливается, пройдя расстояние $\text{S}$. Начальная кинетическая энергия в точке А равна $E_{k_A} = \frac{mv_A^2}{2}$, конечная кинетическая энергия равна нулю. Работа силы трения $A_{тр}$ отрицательна и равна:

$A_{тр} = -F_{тр} \cdot S = -\mu N \cdot S = -\mu mgS$

По теореме об изменении кинетической энергии:

$\Delta E_k = A_{тр}$

$0 - \frac{mv_A^2}{2} = -\mu mgS$

Отсюда выразим квадрат скорости:

$v_A^2 = 2\mu gS$

Подставим это выражение в формулу для веса $P_A$:

$P_A = mg + \frac{m(2\mu gS)}{R} = mg(1 + \frac{2\mu S}{R})$

Выполним вычисления:

$P_A = 40 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot (1 + \frac{2 \cdot 0.1 \cdot 30 \text{ м}}{4 \text{ м}}) = 400 \cdot (1 + \frac{6}{4}) = 400 \cdot (1 + 1.5) = 400 \cdot 2.5 = 1000 \text{ Н}$

$1000 \text{ Н} = 1 \text{ кН}$

Ответ: вес девочки в точке А равен $1 \text{ кН}$.

На какой высоте h девочка испытает двухкратную перегрузку?

В этом вопросе требуется найти начальную высоту $\text{h}$, съехав с которой, девочка испытает двухкратную перегрузку. Двухкратная перегрузка означает, что вес тела (сила реакции опоры) в два раза больше силы тяжести. Предполагается, что максимальная перегрузка достигается в нижней точке траектории (в точке А). Таким образом, условие двухкратной перегрузки в точке А:

$P_A = 2mg$

Используя выведенную ранее формулу для веса в точке А, $P_A = mg + \frac{mv_A^2}{R}$, получаем:

$2mg = mg + \frac{mv_A^2}{R}$

$mg = \frac{mv_A^2}{R}$

Отсюда находим квадрат скорости, необходимый для такой перегрузки:

$v_A^2 = gR$

Теперь применим закон сохранения механической энергии для движения по гладкой горке. Начальная энергия на высоте $\text{h}$ (девочка начинает движение без начальной скорости) равна потенциальной энергии $E_p = mgh$. В точке А (принятой за нулевой уровень высоты) вся потенциальная энергия перешла в кинетическую $E_k = \frac{mv_A^2}{2}$.

$mgh = \frac{mv_A^2}{2}$

Отсюда $v_A^2 = 2gh$.

Приравняем два полученных выражения для $v_A^2$:

$gR = 2gh$

Сократив на $\text{g}$, получим выражение для высоты $\text{h}$:

$h = \frac{R}{2}$

Подставим числовое значение радиуса:

$h = \frac{4 \text{ м}}{2} = 2 \text{ м}$

Ответ: девочка испытает двухкратную перегрузку, если съедет с высоты $2 \text{ м}$.