Номер 11, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

11. Каково удлинение троса, на котором медленно поднимают со дна водоема затонувшую статую объемом $2 \text{ м}^3$ и массой $7 \text{ т}$? Жесткость троса $2,5 \text{ МН/м}$.

(Ответ: $3,6 \text{ мм}$)

Дано:

Объем статуи, $V = 2 \text{ м}^3$

Масса статуи, $m = 7 \text{ т} = 7000 \text{ кг}$

Жесткость троса, $k = 2,5 \text{ МН/м} = 2,5 \cdot 10^6 \text{ Н/м}$

Плотность пресной воды, $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Удлинение троса, $\Delta L$

Решение:

При подъеме статуи со дна водоема на нее действуют три силы: сила тяжести $F_т$, направленная вертикально вниз; выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_А$, направленная вертикально вверх; сила натяжения троса $\text{T}$, направленная вертикально вверх.

Согласно условию, статую поднимают медленно, это означает, что ускорение близко к нулю ($a \approx 0$). Следовательно, система находится в равновесии, и сумма всех действующих на нее сил равна нулю. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную вверх:

$T + F_А - F_т = 0$

Отсюда можно выразить силу натяжения троса:

$T = F_т - F_А$

Рассчитаем силу тяжести и выталкивающую силу.

Сила тяжести, действующая на статую:

$F_т = m \cdot g = 7000 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 70000 \text{ Н}$

Выталкивающая сила, действующая на полностью погруженную в воду статую:

$F_А = \rho_в \cdot g \cdot V = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 2 \text{ м}^3 = 20000 \text{ Н}$

Теперь можем найти силу натяжения троса:

$T = 70000 \text{ Н} - 20000 \text{ Н} = 50000 \text{ Н}$

Сила натяжения троса $\text{T}$ вызывает его упругую деформацию (удлинение). Согласно закону Гука, сила упругости, возникающая в тросе, равна $F_{упр} = k \cdot \Delta L$. В состоянии равновесия сила натяжения равна силе упругости, $T = F_{упр}$.

Отсюда находим удлинение троса $\Delta L$:

$\Delta L = \frac{T}{k}$

Подставим числовые значения:

$\Delta L = \frac{50000 \text{ Н}}{2,5 \cdot 10^6 \text{ Н/м}} = \frac{5 \cdot 10^4}{2,5 \cdot 10^6} \text{ м} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,02 \text{ м}$

Переведем результат в миллиметры:

$0,02 \text{ м} = 20 \text{ мм}$

Примечание: Ответ в скобках (3,6 мм) не соответствует данным задачи и, вероятнее всего, является опечаткой в условии или ответе. Расчет, приведенный выше, является физически корректным для указанных данных.

Ответ: 20 мм.