Номер 13, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*13. На горизонтальном столе лежит брусок массой $m_1 = 2 \text{ кг}$, на котором помещен второй брусок массой $m_2 = 1 \text{ кг}$ (рис. 13.8). Оба бруска соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок, ось которого неподвижна. Какую силу $\vec{F}$ надо приложить к верхнему бруску в горизонтальном направлении, чтобы он начал двигаться с ускорением $5 \text{ м/с}^2$? Коэффициент трения между брусками $0,5$. Трением нижнего бруска о стол и трением в блоке пренебречь.

(Ответ: $25 \text{ Н}$)

Рис. 13.8

Дано:

Масса нижнего бруска $m_1 = 2 \text{ кг}$

Масса верхнего бруска $m_2 = 1 \text{ кг}$

Ускорение $a = 5 \text{ м/с}^2$

Коэффициент трения между брусками $\mu = 0,5$

Все величины даны в системе СИ. Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Силу $\text{F}$

Решение:

Введём систему координат. Ось OX направим горизонтально вправо, а ось OY — вертикально вверх.

По условию задачи, верхний брусок $m_2$ начинает двигаться вправо с ускорением $\text{a}$. Так как бруски соединены невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через идеальный неподвижный блок, то при движении бруска $m_2$ вправо на расстояние $\Delta x$, брусок $m_1$ сместится влево на такое же расстояние $\Delta x$. Следовательно, ускорения брусков по модулю равны, но направлены в противоположные стороны. В проекции на ось OX: ускорение бруска $m_2$ равно $a_{2x} = a$, а ускорение бруска $m_1$ равно $a_{1x} = -a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого бруска.

Для верхнего бруска (массой $m_2$):

На него действуют: внешняя сила $\text{F}$ (вправо), сила натяжения нити $\text{T}$ (влево), сила тяжести $m_2g$ (вниз), сила нормальной реакции $N_{12}$ со стороны нижнего бруска (вверх) и сила трения скольжения $F_{тр}$ со стороны нижнего бруска (влево, так как брусок движется вправо).

Запишем уравнения в проекциях на оси координат:

Ось OY: $N_{12} - m_2g = 0 \implies N_{12} = m_2g$.

Сила трения скольжения, действующая на верхний брусок, равна $F_{тр} = \mu N_{12} = \mu m_2g$.

Ось OX: $F - T - F_{тр} = m_2a_{2x}$

Подставив известные выражения, получим первое уравнение:

$F - T - \mu m_2g = m_2a$ (1)

Для нижнего бруска (массой $m_1$):

На него действуют: сила натяжения нити $\text{T}$ (влево), сила трения со стороны верхнего бруска $F'_{тр}$ (вправо), сила тяжести $m_1g$ (вниз), сила реакции опоры $N_{стола}$ (вверх) и сила давления со стороны верхнего бруска $N_{21}$ (вниз). По условию, трением нижнего бруска о стол пренебрегаем.

По третьему закону Ньютона, сила трения, действующая на нижний брусок со стороны верхнего, равна по модулю и противоположна по направлению силе трения, действующей на верхний брусок со стороны нижнего: $F'_{тр} = F_{тр} = \mu m_2g$. Эта сила направлена вправо.

Запишем уравнение движения в проекции на ось OX:

$F'_{тр} - T = m_1a_{1x}$

Подставив известные выражения, получим второе уравнение:

$\mu m_2g - T = m_1(-a)$

$\mu m_2g - T = -m_1a$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений (1) и (2) с двумя неизвестными $\text{F}$ и $\text{T}$.

Из уравнения (2) выразим силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = \mu m_2g + m_1a$

Подставим это выражение для $\text{T}$ в уравнение (1):

$F - (\mu m_2g + m_1a) - \mu m_2g = m_2a$

Выразим искомую силу $\text{F}$:

$F = m_2a + m_1a + \mu m_2g + \mu m_2g$

$F = (m_1 + m_2)a + 2\mu m_2g$

Подставим числовые значения:

$F = (2 \text{ кг} + 1 \text{ кг}) \cdot 5 \text{ м/с}^2 + 2 \cdot 0,5 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2$

$F = 3 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}^2 + 1 \cdot 1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2$

$F = 15 \text{ Н} + 10 \text{ Н} = 25 \text{ Н}$

Ответ: 25 Н.