Номер 8, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

8. Человек везет двое связанных саней, прикладывая силу под углом $30^\circ$ к горизонту. Найдите эту силу, если известно, что сани движутся равномерно. Массы саней по $40 \text{ кг}$. Коэффициент трения $0.3$.

(Ответ: $330 \text{ Н}$)

Дано

Масса одного sleda, $m = 40$ кг

Количество саней, $n = 2$

Угол приложения силы к горизонту, $\alpha = 30^\circ$

Коэффициент трения, $\mu = 0,3$

Движение равномерное, следовательно, ускорение $a = 0$ м/с²

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Общая масса саней, $M = n \cdot m = 2 \cdot 40 = 80$ кг

Найти:

Силу, прикладываемую человеком, $\text{F}$

Решение:

Рассмотрим систему из двух саней как единое целое. На систему действуют следующие силы: сила тяги $\text{F}$, приложенная под углом $\alpha$ к горизонту, сила тяжести $F_g$, сила реакции опоры $\text{N}$ и сила трения $F_{тр}$.

Так как сани движутся равномерно, их ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на систему, равна нулю. Запишем уравнения в проекциях на оси координат. Ось OX направим горизонтально по направлению движения, а ось OY — вертикально вверх.

Проекция силы $\text{F}$ на ось OX: $F_x = F \cos\alpha$

Проекция силы $\text{F}$ на ось OY: $F_y = F \sin\alpha$

Сумма проекций сил на ось OY:

$\sum F_y = N + F_y - F_g = 0$

Сила тяжести для двух саней: $F_g = M g$.

$N + F \sin\alpha - M g = 0$

Отсюда выразим силу реакции опоры:

$N = M g - F \sin\alpha$

Сумма проекций сил на ось OX:

$\sum F_x = F_x - F_{тр} = 0$

$F \cos\alpha - F_{тр} = 0$

Сила трения скольжения определяется по формуле $F_{тр} = \mu N$. Подставим в это выражение для $\text{N}$:

$F_{тр} = \mu (M g - F \sin\alpha)$

Теперь подставим полученную силу трения в уравнение для оси OX:

$F \cos\alpha - \mu (M g - F \sin\alpha) = 0$

Раскроем скобки и выразим искомую силу $\text{F}$:

$F \cos\alpha = \mu M g - \mu F \sin\alpha$

$F \cos\alpha + \mu F \sin\alpha = \mu M g$

$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu M g$

$F = \frac{\mu M g}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$\cos30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,866$

$\sin30^\circ = \frac{1}{2} = 0,5$

$F = \frac{0,3 \cdot 80 \cdot 9,8}{0,866 + 0,3 \cdot 0,5} = \frac{235,2}{0,866 + 0,15} = \frac{235,2}{1,016} \approx 231,5$ Н

Примечание: Если принять $g = 10$ м/с², то результат будет $F = \frac{0,3 \cdot 80 \cdot 10}{1,016} = \frac{240}{1,016} \approx 236,2$ Н. Ответ, приведенный в задаче (330 Н), не может быть получен с данными условиями и является, по-видимому, ошибочным.

Ответ: $F \approx 231,5$ Н.