Номер 7, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

7. Небольшое телозапускают снизу вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $30^\circ$ с горизонтом. Коэффициенттрения телао плоскость 0,2. Каково отношение времени подъема тела $t_1$, ко времени его соскальзывания $t_2$, до первоначальной точки?

(Ответ: 0,7)

Дано:

Угол наклона плоскости: $α = 30o $

Коэффициент трения: $μ = 0.2$

Найти:

Отношение времени подъема $t_1$ ко времени соскальзывания $t_2$: $\frac{t_1}{t_2}$

Решение:

Для решения задачи разобьем движение тела на два этапа: подъем вверх по наклонной плоскости и соскальзывание вниз. Путь, который тело проходит вверх и вниз, одинаков. Обозначим его $\text{L}$.

1. Движение тела вверх (время $t_1$)

Выберем систему координат: ось OX направим вверх вдоль наклонной плоскости, а ось OY — перпендикулярно плоскости.

На тело действуют три силы:

• Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз.
• Сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
• Сила трения скольжения $F_{тр1}$, направленная против движения, то есть вниз вдоль наклонной плоскости.

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат:

На ось OY: $N - mg \cos(α) = 0$, откуда сила нормальной реакции $N = mg \cos(α)$.

Сила трения $F_{тр1} = μN = μmg \cos(α)$.

На ось OX: $-mg \sin(α) - F_{тр1} = ma_1$.

Здесь $a_1$ — ускорение тела при подъеме. Подставим выражение для силы трения:

$-mg \sin(α) - μmg \cos(α) = ma_1$

Сократив массу $\text{m}$, получим ускорение:

$a_1 = -g(\sin(α) + μ \cos(α))$

Знак "минус" указывает, что ускорение направлено против оси OX, то есть тело замедляется. Модуль ускорения равен $|a_1| = g(\sin(α) + μ \cos(α))$.

Путь $\text{L}$, пройденный телом до остановки за время $t_1$, определяется из формулы равноускоренного движения (при начальной скорости $v_0$ и конечной 0): $L = v_0 t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2}$. Также $0 = v_0 + a_1 t_1$, откуда $v_0 = -a_1 t_1$. Подставив $v_0$, получим $L = (-a_1 t_1)t_1 + \frac{a_1 t_1^2}{2} = -\frac{a_1 t_1^2}{2}$. Так как $a_1$ отрицательно, путь $\text{L}$ будет положительным: $L = \frac{|a_1| t_1^2}{2}$.

2. Движение тела вниз (время $t_2$)

При соскальзывании сила трения $F_{тр2}$ направлена в противоположную сторону — вверх вдоль наклонной плоскости.

Сила нормальной реакции и ее модуль не меняются: $N = mg \cos(α)$, $F_{тр2} = μmg \cos(α)$.

Второй закон Ньютона в проекции на ось OX:

$-mg \sin(α) + F_{тр2} = ma_2$

$-mg \sin(α) + μmg \cos(α) = ma_2$

Ускорение при соскальзывании:

$a_2 = -g(\sin(α) - μ \cos(α))$

Модуль ускорения при спуске: $|a_2| = g(\sin(α) - μ \cos(α))$.

Движение вниз происходит из состояния покоя. Путь $\text{L}$ за время $t_2$:

$L = \frac{|a_2| t_2^2}{2}$

3. Нахождение отношения времен $t_1 / t_2$

Поскольку путь $\text{L}$ в обоих случаях одинаков, мы можем приравнять выражения для него:

$\frac{|a_1| t_1^2}{2} = \frac{|a_2| t_2^2}{2}$

$|a_1| t_1^2 = |a_2| t_2^2$

Отсюда выразим отношение квадратов времен:

$\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{|a_2|}{|a_1|} = \frac{g(\sin(α) - μ \cos(α))}{g(\sin(α) + μ \cos(α))}$

Сократив $\text{g}$, получим:

$\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{\sin(α) - μ \cos(α)}{\sin(α) + μ \cos(α)}$

Извлекая квадратный корень, находим искомое отношение:

$\frac{t_1}{t_2} = \sqrt{\frac{\sin(α) - μ \cos(α)}{\sin(α) + μ \cos(α)}}$

4. Вычисление

Подставим заданные значения $α = 30o $ и $μ = 0.2$.

$\sin(30o ) = 0.5$

$\cos(30o ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$

$\frac{t_1}{t_2} = \sqrt{\frac{0.5 - 0.2 \cdot 0.866}{0.5 + 0.2 \cdot 0.866}} = \sqrt{\frac{0.5 - 0.1732}{0.5 + 0.1732}} = \sqrt{\frac{0.3268}{0.6732}} \approx \sqrt{0.4854} \approx 0.6967$

Округляя результат до десятых, получаем 0.7.

Ответ: 0,7.