Номер 6, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

6. Чему должен быть равен минимальный коэффициент трения между шинами и поверхностью дороги с уклоном $30^\circ$, чтобы автомобиль мог двигаться по ней вверх с ускорением $0,5 \text{ м/с}^2$?

(Ответ: 0,06)

6. Дано:

Угол уклона дороги $\alpha = 30^\circ$

Ускорение автомобиля $a = 0,5 \text{ м/с}^2$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$\mu_{min}$ — минимальный коэффициент трения

Решение:

На автомобиль, движущийся вверх по наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\text{N}$, направленная перпендикулярно поверхности дороги; и сила трения $F_{тр}$, которая в данном случае является движущей силой (силой тяги) и направлена вверх вдоль дороги.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме: $m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} = m\vec{a}$.

Выберем систему координат: ось OX направим вверх вдоль наклонной плоскости, а ось OY — перпендикулярно ей. Спроецируем уравнение на эти оси:

Проекция на ось OY: $N - mg \cos\alpha = 0$, следовательно, сила нормальной реакции опоры равна $N = mg \cos\alpha$.

Проекция на ось OX: $F_{тр} - mg \sin\alpha = ma$.

Движущая сила $F_{тр}$ создается за счет сцепления шин с дорогой и является силой трения покоя. Ее максимальное значение равно $F_{тр.max} = \mu N$. Для того чтобы автомобиль мог двигаться с заданным ускорением, необходимая движущая сила должна быть не больше максимальной силы трения покоя. Минимальный коэффициент трения $\mu_{min}$ соответствует предельному случаю, когда требуемая сила равна максимальной возможной: $F_{тр} = \mu_{min} N$.

Из уравнения для оси OX найдем требуемую силу трения: $F_{тр} = ma + mg \sin\alpha$.

Приравняем два выражения для $F_{тр}$ и подставим выражение для $\text{N}$:

$\mu_{min} N = ma + mg \sin\alpha$

$\mu_{min} (mg \cos\alpha) = ma + mg \sin\alpha$

Сократим на массу $\text{m}$ и выразим $\mu_{min}$:

$\mu_{min} g \cos\alpha = a + g \sin\alpha$

$\mu_{min} = \frac{a + g \sin\alpha}{g \cos\alpha}$

Подставим числовые значения:

$\mu_{min} = \frac{0,5 \text{ м/с}^2 + 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(30^\circ)}{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \cos(30^\circ)} = \frac{0,5 + 9,8 \cdot 0,5}{9,8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0,5 + 4,9}{9,8 \cdot 0,866} = \frac{5,4}{8,4868} \approx 0,636$

Округляя результат до сотых, получаем $\mu_{min} \approx 0,64$.

Следует отметить, что ответ, указанный в скобках в условии задачи (0,06), является неверным для заданных параметров. Коэффициент трения 0,06 слишком мал для движения вверх по уклону в 30 градусов. Для того чтобы просто удерживать автомобиль на месте на таком уклоне (без ускорения), требуется коэффициент трения $\mu \ge \tan(30^\circ) \approx 0,58$. Ответ 0,06 был бы верным, если бы угол уклона составлял примерно 0,5 градуса, а не 30.

Ответ: $\mu_{min} \approx 0,64$.