Номер 12, страница 83, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*12. Определите ускорения грузов в представленной системе (рис. 13.7). Нить и блоки идеальны.

(Ответ: $a_{2m} = 2,94 \text{ м/с}^2 \text{ вниз}$; $a_{3m} = 0,59 \text{ м/с}^2 \text{ вниз}$; $a_{m} = 4,12 \text{ м/с}^2 \text{ вверх}$)

Рис. 13.7

Дано:

Массы грузов: $m_1 = 2m$, $m_2 = m$, $m_3 = 3m$.

Нить и блоки считать идеальными (невесомыми и без трения).

Ускорение свободного падения $\text{g}$. Для численного расчета примем $g = 10 \text{ м/с}^2$, так как это значение дает совпадение с приведенным в условии ответом.

Найти:

Ускорения грузов $a_{2m}$, $a_{3m}$, $a_m$.

Решение:

Выберем ось OY, направленную вертикально вниз. Пусть $\text{T}$ — сила натяжения нити, которая соединяет грузы $2m$ и $\text{m}$ и перекинута через подвижный блок. Поскольку нить и блоки идеальны, сила натяжения $\text{T}$ одинакова по всей ее длине.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из трех грузов в проекции на ось OY:

1. Для груза массой $2m$:

$2mg - T = 2ma_{2m}$ (1)

2. Для груза массой $\text{m}$:

$mg - T = ma_m$ (2)

3. Груз массой $3m$ подвешен к оси подвижного блока. На этот блок действуют две силы натяжения $\text{T}$ от двух ветвей нити, направленные вверх, и сила тяжести $3mg$, направленная вниз. Поэтому уравнение движения для груза $3m$ будет:

$3mg - 2T = 3ma_{3m}$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными ($a_{2m}$, $a_m$, $a_{3m}$ и $\text{T}$). Для решения системы необходимо еще одно уравнение. Это уравнение кинематической связи, которое следует из условия нерастяжимости нити.

Пусть $y_{2m}$, $y_m$ и $y_{3m}$ — вертикальные координаты грузов $2m$, $\text{m}$ и $3m$ соответственно. Длина основной нити $\text{L}$ постоянна и выражается через координаты:

$L = y_{2m} + 2y_{3m} + y_m + \text{const}$

где $y_{3m}$ - координата подвижного блока. Дважды продифференцировав это выражение по времени, получим соотношение между ускорениями (так как $d^2L/dt^2 = 0$):

$a_{2m} + 2a_{3m} + a_m = 0$ (4)

Теперь решим полученную систему уравнений (1)-(4). Сначала выразим ускорения из уравнений (1), (2), (3):

$a_{2m} = g - \frac{T}{2m}$

$a_m = g - \frac{T}{m}$

$a_{3m} = g - \frac{2T}{3m}$

Подставим эти выражения в уравнение кинематической связи (4):

$(g - \frac{T}{2m}) + 2(g - \frac{2T}{3m}) + (g - \frac{T}{m}) = 0$

$4g - T(\frac{1}{2m} + \frac{4}{3m} + \frac{1}{m}) = 0$

$4g = \frac{T}{m}(\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + 1)$

$4g = \frac{T}{m}(\frac{3 + 8 + 6}{6}) = \frac{T}{m}\frac{17}{6}$

Отсюда найдем силу натяжения нити $\text{T}$:

$T = \frac{24}{17}mg$

Зная $\text{T}$, можем определить ускорения каждого груза, подставив выражение для $\text{T}$ в формулы для ускорений:

$a_{2m} = g - \frac{1}{2m} \cdot (\frac{24}{17}mg) = g - \frac{12}{17}g = \frac{5}{17}g$

$a_{3m} = g - \frac{2}{3m} \cdot (\frac{24}{17}mg) = g - \frac{16}{17}g = \frac{1}{17}g$

$a_m = g - \frac{1}{m} \cdot (\frac{24}{17}mg) = g - \frac{24}{17}g = -\frac{7}{17}g$

Положительный знак ускорения означает, что вектор ускорения направлен вниз (по оси OY), а отрицательный — вверх (против оси OY).

Подставим числовое значение $g = 10 \text{ м/с}^2$:

$a_{2m} = \frac{5}{17} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \approx 2,94 \text{ м/с}^2$ (вниз)

$a_{3m} = \frac{1}{17} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \approx 0,59 \text{ м/с}^2$ (вниз)

$a_m = -\frac{7}{17} \cdot 10 \text{ м/с}^2 \approx -4,12 \text{ м/с}^2$. Модуль ускорения $|a_m| \approx 4,12 \text{ м/с}^2$ (вверх)

Ответ: $a_{2m} = \frac{5}{17}g \approx 2,94 \text{ м/с}^2$ (вниз); $a_{3m} = \frac{1}{17}g \approx 0,59 \text{ м/с}^2$ (вниз); $a_m = \frac{7}{17}g \approx 4,12 \text{ м/с}^2$ (вверх).