Номер 7, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

*7. Движущийся шар массой $\text{m}$ столкнулся с неподвижным шаром массой $\text{3m}$. Если после столкновения шары разлетелись под углом $90^\circ$ со скоростями $\text{3v}$ (первый шар) и $\text{v}$ (второй шар), то какова была скорость первого шара до столкновения?

(Ответ: $u = 3\sqrt{2}v$)

Дано:

Масса первого шара: $m_1 = m$

Масса второго шара: $m_2 = 3m$

Начальная скорость первого шара: $u_1 = u$

Начальная скорость второго шара: $u_2 = 0$

Конечная скорость первого шара: $v_1 = 3v$

Конечная скорость второго шара: $v_2 = v$

Угол между конечными скоростями шаров: $\alpha = 90^\circ$

Найти:

$\text{u}$

Решение:

Данная задача решается с помощью закона сохранения импульса. Поскольку столкновение происходит в замкнутой системе (внешние силы, такие как сила тяжести и сила реакции опоры, скомпенсированы, а силами трения можно пренебречь), полный импульс системы сохраняется.

Закон сохранения импульса в векторной форме: $\vec{P}_{до} = \vec{P}_{после}$.

Импульс системы до столкновения состоит только из импульса первого шара, так как второй шар был неподвижен:

$\vec{P}_{до} = m_1\vec{u} + m_2 \cdot \vec{0} = m\vec{u}$

Импульс системы после столкновения равен векторной сумме импульсов двух шаров:

$\vec{P}_{после} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} = m(3v)\vec{e_1} + 3m(v)\vec{e_2}$, где $\vec{e_1}$ и $\vec{e_2}$ - единичные векторы направлений скоростей после столкновения.

Приравнивая импульсы до и после столкновения, получаем:

$m\vec{u} = m\vec{v_1} + 3m\vec{v_2}$

Разделив обе части на $\text{m}$, получим векторное равенство:

$\vec{u} = \vec{v_1} + 3\vec{v_2}$

Из этого следует, что вектор начального импульса $\vec{P}_{до}$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, катетами которого являются векторы импульсов шаров после столкновения, $\vec{p_1} = m\vec{v_1}$ и $\vec{p_2} = 3m\vec{v_2}$. Это так, потому что по условию шары разлетаются под углом $90^\circ$, а значит, векторы их скоростей (и импульсов) перпендикулярны.

По теореме Пифагора для модулей векторов импульса:

$|\vec{P}_{до}|^2 = |\vec{p_1}|^2 + |\vec{p_2}|^2$

Найдем модули каждого импульса:

Модуль начального импульса: $|\vec{P}_{до}| = |m\vec{u}| = mu$

Модуль импульса первого шара после столкновения: $|\vec{p_1}| = |m\vec{v_1}| = m \cdot v_1 = m \cdot 3v = 3mv$

Модуль импульса второго шара после столкновения: $|\vec{p_2}| = |3m\vec{v_2}| = 3m \cdot v_2 = 3m \cdot v = 3mv$

Подставим значения модулей в уравнение:

$(mu)^2 = (3mv)^2 + (3mv)^2$

$m^2u^2 = 9m^2v^2 + 9m^2v^2$

$m^2u^2 = 18m^2v^2$

Сокращаем $m^2$:

$u^2 = 18v^2$

Извлекаем квадратный корень:

$u = \sqrt{18v^2} = v\sqrt{18} = v\sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}v$

Ответ: скорость первого шара до столкновения была равна $u = 3\sqrt{2}v$.