Номер 5, страница 113, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

5. Тележка массой 120 кг движется со скоростью 8 м/с. С тележки соскакивает человек массой 80 кг под углом $30^\circ$ к направлению ее движения. Скорость тележки при этом уменьшается до 5 м/с. Какова была скорость человека в момент прыжка относительно земли?

(Ответ: 25 м/с)

Дано:

Масса тележки, $m_т = 120$ кг

Масса человека, $m_ч = 80$ кг

Начальная скорость тележки и человека, $v_0 = 8$ м/с

Конечная скорость тележки, $v_1 = 5$ м/с

Угол прыжка человека относительно направления движения, $\alpha = 30o $

Все данные приведены в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

Скорость человека в момент прыжка относительно земли, $v_2$

Решение:

Для решения задачи применим закон сохранения импульса для системы "тележка + человек". Поскольку на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы (силу трения и сопротивление воздуха пренебрегаем), импульс системы сохраняется. Так как человек прыгает под углом к направлению движения, рассмотрим проекции импульсов на ось $Ox$, совпадающую с направлением движения тележки, и на перпендикулярную ей ось $Oy$.

Внешняя сила реакции рельсов действует в направлении оси $Oy$ и не позволяет тележке двигаться вбок, поэтому закон сохранения импульса применим только для проекции на ось $Ox$.

1. Импульс системы до прыжка. До прыжка тележка и человек движутся вместе как единое целое. Их суммарный импульс направлен вдоль оси $Ox$:

$P_{0x} = (m_т + m_ч) \cdot v_0$

2. Импульс системы после прыжка. После прыжка тележка движется со скоростью $v_1$ вдоль оси $Ox$, а человек — со скоростью $v_2$ под углом $\alpha$ к оси $Ox$. Суммарный импульс системы в проекции на ось $Ox$ равен:

$P_{1x} = m_т \cdot v_1 + m_ч \cdot v_{2x}$

где $v_{2x}$ — проекция скорости человека на ось $Ox$. Эта проекция связана с полной скоростью человека $v_2$ соотношением:

$v_{2x} = v_2 \cdot \cos\alpha$

3. Закон сохранения импульса в проекции на ось $Ox$:

$P_{0x} = P_{1x}$

$(m_т + m_ч) \cdot v_0 = m_т \cdot v_1 + m_ч \cdot v_2 \cdot \cos\alpha$

4. Выразим из этого уравнения искомую скорость человека $v_2$. Сначала найдем проекцию скорости человека $v_{2x}$:

$m_ч \cdot v_{2x} = (m_т + m_ч) \cdot v_0 - m_т \cdot v_1$

$v_{2x} = \frac{(m_т + m_ч) \cdot v_0 - m_т \cdot v_1}{m_ч}$

Подставим числовые значения:

$v_{2x} = \frac{(120 \text{ кг} + 80 \text{ кг}) \cdot 8 \text{ м/с} - 120 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м/с}}{80 \text{ кг}} = \frac{200 \cdot 8 - 600}{80} \frac{\text{кг} \cdot \text{м/с}}{\text{кг}} = \frac{1600 - 600}{80} \text{ м/с} = \frac{1000}{80} \text{ м/с} = 12.5 \text{ м/с}$

5. Теперь найдем полную скорость человека $v_2$:

$v_2 = \frac{v_{2x}}{\cos\alpha}$

$v_2 = \frac{12.5 \text{ м/с}}{\cos 30o } = \frac{12.5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \text{ м/с} = \frac{25}{\sqrt{3}} \text{ м/с} \approx 14.43 \text{ м/с}$

Примечание: Приведенный в условии ответ (25 м/с) был бы верным, если бы угол прыжка составлял 60o , а не 30o . При $\alpha = 60o $, $\cos 60o = 0.5$, и тогда скорость человека была бы $v_2 = \frac{12.5}{0.5} = 25$ м/с. Вероятно, в условии задачи или в ответе допущена опечатка. Решение выше приведено в строгом соответствии с данными задачи.

Ответ: скорость человека в момент прыжка относительно земли была приблизительно $14.43$ м/с.