Номер 4, страница 112, часть 1 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

4. Как изменится скорость скейтборда, если на него прыгнуть:

а) сверху;

б) навстречу его движению;

в) против движения?

Для решения этой задачи воспользуемся законом сохранения импульса. Система тел состоит из человека и скейтборда. Будем считать эту систему замкнутой в горизонтальном направлении, то есть трением и сопротивлением воздуха можно пренебречь. В этом случае суммарный импульс системы «человек + скейтборд» в горизонтальном направлении сохраняется.

Дано:

$m_c$ – масса скейтборда

$m_ч$ – масса человека

$\vec{v_c}$ – начальная скорость скейтборда

$\vec{v_ч}$ – начальная горизонтальная скорость человека перед прыжком

$\vec{u}$ – конечная скорость системы «человек + скейтборд»

Найти:

Как изменится скорость скейтборда в каждом из трех случаев.

Решение:

Закон сохранения импульса в векторной форме гласит: $m_c \vec{v_c} + m_ч \vec{v_ч} = (m_c + m_ч)\vec{u}$

Для анализа спроецируем это уравнение на горизонтальную ось OX, направленную вдоль начальной скорости скейтборда. Тогда проекция начальной скорости скейтборда на эту ось $v_{cx} = v_c > 0$. Проекцию начальной горизонтальной скорости человека обозначим как $v_{чx}$, а проекцию конечной скорости системы — как $\text{u}$.

Уравнение в проекциях: $m_c v_c + m_ч v_{чx} = (m_c + m_ч)u$.

Отсюда конечная скорость: $u = \frac{m_c v_c + m_ч v_{чx}}{m_c + m_ч}$.

Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) сверху

Человек прыгает на скейтборд вертикально, это означает, что его начальная горизонтальная скорость равна нулю. $v_{чx} = 0$.

Подставим это значение в формулу для конечной скорости: $u = \frac{m_c v_c + m_ч \cdot 0}{m_c + m_ч} = \frac{m_c v_c}{m_c + m_ч} = v_c \frac{m_c}{m_c + m_ч}$.

Поскольку масса человека $m_ч > 0$, то знаменатель $m_c + m_ч > m_c$, и, следовательно, множитель $\frac{m_c}{m_c + m_ч}$ строго меньше 1.

Таким образом, конечная скорость $\text{u}$ будет меньше начальной скорости $v_c$ ($u < v_c$), но направлена в ту же сторону ($u > 0$).

Ответ: Скорость скейтборда уменьшится.

б) навстречу его движению

Данная формулировка может трактоваться по-разному. Будем исходить из наиболее вероятного физического смысла в контексте задачи, что "навстречу движению" означает "по направлению движения", то есть человек догоняет скейтборда и запрыгивает на него. В этом случае его начальная горизонтальная скорость $v_{чx}$ положительна ($v_{чx} > 0$).

Конечная скорость равна $u = \frac{m_c v_c + m_ч v_{чx}}{m_c + m_ч}$.

Это значение является средневзвешенным между скоростями $v_c$ и $v_{чx}$, поэтому конечная скорость будет находиться между начальными скоростями человека и скейтборда. Результат зависит от их соотношения:

1. Если человек прыгает со скоростью, большей, чем скорость скейтборда ($v_{чx} > v_c$), то конечная скорость системы будет больше начальной скорости скейтборда ($u > v_c$). Скорость увеличится.

2. Если человек прыгает со скоростью, меньшей, чем скорость скейтборда ($v_{чx} < v_c$), то конечная скорость системы будет меньше начальной скорости скейтборда ($u < v_c$). Скорость уменьшится.

3. Если их скорости равны ($v_{чx} = v_c$), то $u = \frac{m_c v_c + m_ч v_c}{m_c + m_ч} = \frac{(m_c + m_ч)v_c}{m_c + m_ч} = v_c$. Скорость не изменится.

Ответ: Скорость скейтборда может увеличиться, уменьшиться или не измениться. Она увеличится, если начальная горизонтальная скорость человека была больше начальной скорости скейтборда; уменьшится, если скорость человека была меньше; и не изменится, если их скорости были равны.

в) против движения

Человек прыгает в направлении, противоположном движению скейтборда. Его начальная горизонтальная скорость $v_{чx}$ отрицательна ($v_{чx} < 0$).

Конечная скорость равна $u = \frac{m_c v_c + m_ч v_{чx}}{m_c + m_ч}$.

Так как к положительному импульсу скейтборда $m_c v_c$ прибавляется отрицательный импульс человека $m_ч v_{чx}$, то суммарный начальный импульс $m_c v_c + m_ч v_{чx}$ будет меньше, чем $m_c v_c$. Следовательно, конечная скорость (как проекция на ось OX) $\text{u}$ всегда будет меньше начальной скорости $v_c$.

Однако, вопрос о том, как изменится *модуль* скорости (т.е. быстрота движения), более сложен. Возможны три исхода в зависимости от соотношения начальных импульсов:

1. Если импульс скейтборда больше по модулю, чем импульс человека ($m_c v_c > m_ч |v_{чx}|$), то скейтборд продолжит движение в том же направлении, но с меньшей скоростью ($0 < u < v_c$). Модуль скорости уменьшится.

2. Если импульсы равны по модулю ($m_c v_c = m_ч |v_{чx}|$), то скейтборд с человеком остановятся ($u=0$). Модуль скорости уменьшится до нуля.

3. Если импульс человека по модулю больше ($m_c v_c < m_ч |v_{чx}|$), то после прыжка скейтборд изменит направление движения на противоположное ($u < 0$). В этом случае модуль конечной скорости $|u|$ может быть как меньше, так и больше начального модуля скорости $v_c$. Если человек прыгнет с достаточно большой скоростью навстречу, модуль скорости скейтборда может даже увеличиться.

Ответ: Скорость (как векторная величина) всегда уменьшается. Модуль скорости (быстрота движения) в большинстве случаев уменьшится или станет равен нулю. Однако, если импульс человека в обратном направлении будет достаточно велик, то скейтборд поедет в обратную сторону, и его новый модуль скорости теоретически может оказаться больше исходного.