Номер 13, страница 186, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

13. Виток провода площадью 50 $cm^2$ замкнут на конденсаторе емкостью 20 $\mu F$. Плоскость витка перпендикулярна однородному магнитному полю. Найдите скорость изменения магнитной индукции, если заряд на конденсаторе равен 1 $\text{nC}$.

(Ответ: 10 $mT/s$)

Дано:

Площадь витка, $S = 50 \text{ см}^2$

Емкость конденсатора, $C = 20 \text{ мкФ}$

Заряд на конденсаторе, $q = 1 \text{ нКл}$

Перевод в систему СИ:

$S = 50 \text{ см}^2 = 50 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 50 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2$

$C = 20 \text{ мкФ} = 20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф}$

$q = 1 \text{ нКл} = 1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Найти:

Скорость изменения магнитной индукции, $\frac{dB}{dt}$

Решение:

При изменении магнитного потока через замкнутый контур (виток провода) в нем возникает ЭДС индукции. По закону электромагнитной индукции Фарадея, модуль ЭДС $\mathcal{E}_{i}$ равен скорости изменения магнитного потока $\Phi$ через контур:

$\mathcal{E}_{i} = \left| \frac{d\Phi}{dt} \right|$

Магнитный поток $\Phi$ через плоскую поверхность площадью $\text{S}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$ определяется формулой $\Phi = B \cdot S \cdot \cos{\alpha}$, где $\alpha$ — угол между вектором магнитной индукции $\vec{B}$ и вектором нормали к плоскости витка. По условию, плоскость витка перпендикулярна полю, это означает, что нормаль к плоскости параллельна линиям поля, то есть угол $\alpha = 0^\circ$, и $\cos{0^\circ} = 1$.

Следовательно, магнитный поток равен $\Phi = B \cdot S$.

Подставим это в формулу для ЭДС. Так как площадь витка $\text{S}$ не изменяется, ее можно вынести за знак производной:

$\mathcal{E}_{i} = \frac{d(B \cdot S)}{dt} = S \cdot \frac{dB}{dt}$

Виток замкнут на конденсатор, поэтому ЭДС индукции, возникающая в витке, заряжает конденсатор. Напряжение $\text{U}$ на обкладках конденсатора в установившемся режиме (когда ток зарядки прекратился, что не совсем так, но в задачах такого типа предполагается, что напряжение на конденсаторе равно ЭДС) равно ЭДС индукции: $U = \mathcal{E}_{i}$.

С другой стороны, напряжение на конденсаторе связано с его зарядом $\text{q}$ и емкостью $\text{C}$ соотношением:

$U = \frac{q}{C}$

Приравнивая два выражения для напряжения (ЭДС), получаем:

$S \cdot \frac{dB}{dt} = \frac{q}{C}$

Из этого уравнения выразим искомую скорость изменения магнитной индукции $\frac{dB}{dt}$:

$\frac{dB}{dt} = \frac{q}{S \cdot C}$

Подставим числовые значения, переведенные в систему СИ:

$\frac{dB}{dt} = \frac{1 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^2) \cdot (20 \cdot 10^{-6} \text{ Ф})} = \frac{1 \cdot 10^{-9}}{100 \cdot 10^{-9}} \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = \frac{1}{100} \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = 0.01 \frac{\text{Тл}}{\text{с}}$

Для удобства переведем результат в миллитесла в секунду (мТл/с), учитывая, что $1 \text{ Тл} = 1000 \text{ мТл}$:

$0.01 \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = 0.01 \cdot 1000 \frac{\text{мТл}}{\text{с}} = 10 \frac{\text{мТл}}{\text{с}}$

Ответ: $10 \text{ мТл/с}$.