Номер 9, страница 186, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

9. Прямолинейный проводник длиной 1,4 м находится в однородном магнитном поле с индукцией 74 мТл. Найдите разность потенциалов на концах проводника при его вращении с угловой скоростью 75 рад/с в плоскости, перпендикулярной магнитному полю.

(Ответ: 5,4 В)

Дано:

Длина проводника, $l = 1,4$ м

Магнитная индукция, $B = 74$ мТл

Угловая скорость, $\omega = 75$ рад/с

Перевод в СИ:

$B = 74 \cdot 10^{-3}$ Тл = $0,074$ Тл

Найти:

Разность потенциалов на концах проводника, $\text{U}$

Решение:

При вращении проводника в магнитном поле на свободные заряды в нем (электроны) действует сила Лоренца, которая заставляет их перемещаться к одному из концов проводника. Это приводит к возникновению разности потенциалов, или электродвижущей силы (ЭДС) индукции.

Рассмотрим малый участок проводника длиной $dr$, находящийся на расстоянии $\text{r}$ от оси вращения. Линейная скорость этого участка равна $v = \omega r$.

ЭДС индукции $d\mathcal{E}$, возникающая на этом малом участке, определяется выражением:

$d\mathcal{E} = B v dr \sin\alpha$

По условию, проводник вращается в плоскости, перпендикулярной вектору магнитной индукции. Это значит, что вектор скорости $\text{v}$ любого участка проводника всегда перпендикулярен вектору магнитной индукции $\text{B}$. Следовательно, угол $\alpha$ между ними равен $90^\circ$, а $\sin 90^\circ = 1$.

Тогда $d\mathcal{E} = B v dr = B \omega r dr$.

Чтобы найти полную разность потенциалов $\text{U}$ (которая равна полной ЭДС $\mathcal{E}$) на концах проводника, нужно проинтегрировать это выражение по всей длине проводника от оси вращения (r=0) до его конца (r=l):

$U = \mathcal{E} = \int_{0}^{l} d\mathcal{E} = \int_{0}^{l} B \omega r dr$

Величины $\text{B}$ и $\omega$ являются постоянными, поэтому их можно вынести за знак интеграла:

$U = B \omega \int_{0}^{l} r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{l} = B \omega \left( \frac{l^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$

Таким образом, формула для расчета разности потенциалов имеет вид:

$U = \frac{B \omega l^2}{2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$U = \frac{0,074 \text{ Тл} \cdot 75 \text{ рад/с} \cdot (1,4 \text{ м})^2}{2} = \frac{0,074 \cdot 75 \cdot 1,96}{2}$

$U = \frac{5,55 \cdot 1,96}{2} = \frac{10,878}{2} = 5,439$ В

Округляя до десятых, получаем $5,4$ В.

Ответ: разность потенциалов на концах проводника составляет $5,4$ В.