Номер 8, страница 185, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

8. В вертикальном однородном магнитном поле с индукцией $0,2 \text{ Тл}$ поступательно движется горизонтально расположенный проводник длиной $50 \text{ см}$ со скоростью $10 \text{ м/с}$ так, что его скорость составляет с магнитным полем угол $30^\circ$, а с осью проводника — $60^\circ$. Найдите ЭДС индукции, возникающей в проводнике.

(Ответ: $0,435 \text{ В}$)

Дано:

Индукция магнитного поля, $B = 0,2$ Тл

Длина проводника, $l = 50$ см

Скорость проводника, $v = 10$ м/с

Угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции, $\alpha = 30^{\circ}$

Угол между вектором скорости и осью проводника, $\beta = 60^{\circ}$

Перевод в систему СИ:

Длина проводника, $l = 0,5$ м

Найти:

ЭДС индукции, $\mathcal{E}$

Решение:

ЭДС индукции, возникающая в прямолинейном проводнике длиной $\text{l}$, который движется со скоростью $\text{v}$ в однородном магнитном поле с индукцией $\text{B}$, определяется по формуле, вытекающей из действия силы Лоренца на свободные заряды в проводнике:

$\mathcal{E} = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot \vec{l}$

где $\vec{v}$, $\vec{B}$, $\vec{l}$ — векторы скорости, магнитной индукции и направленного отрезка, соответствующего проводнику. Эта формула представляет собой скалярное смешанное произведение векторов.

Для решения задачи проанализируем геометрию векторов. Магнитное поле $\vec{B}$ вертикально, а проводник $\vec{l}$ расположен горизонтально. Это означает, что векторы $\vec{B}$ и $\vec{l}$ взаимно перпендикулярны.

Разложим вектор скорости $\vec{v}$ на две составляющие: вертикальную $\vec{v}_{\parallel}$, параллельную магнитному полю $\vec{B}$, и горизонтальную $\vec{v}_{\perp}$, перпендикулярную ему.

Вертикальная составляющая скорости $\vec{v}_{\parallel}$ параллельна вектору $\vec{B}$, поэтому их векторное произведение равно нулю $(\vec{v}_{\parallel} \times \vec{B} = 0)$. Следовательно, эта составляющая скорости не вносит вклад в ЭДС индукции.

ЭДС создается только горизонтальной составляющей скорости $\vec{v}_{\perp}$. Ее модуль равен:

$v_{\perp} = v \cdot \sin(\alpha)$

Сила Лоренца (в расчете на единичный заряд), действующая на заряды в проводнике, определяется как $\vec{E}_{эфф} = \vec{v}_{\perp} \times \vec{B}$. Так как $\vec{v}_{\perp}$ горизонтален, а $\vec{B}$ вертикален, вектор $\vec{E}_{эфф}$ также будет горизонтальным и перпендикулярным $\vec{v}_{\perp}$. Модуль этого эффективного электрического поля равен:

$E_{эфф} = v_{\perp} \cdot B = v \cdot \sin(\alpha) \cdot B$

ЭДС индукции равна работе этого поля по перемещению единичного заряда вдоль проводника. Так как поле $E_{эфф}$ однородно вдоль проводника, ЭДС равна произведению модуля $E_{эфф}$ на проекцию длины проводника на направление $E_{эфф}$.

$\mathcal{E} = \vec{E}_{эфф} \cdot \vec{l} = E_{эфф} \cdot l \cdot \cos(\theta)$, где $\theta$ - угол между векторами $\vec{E}_{эфф}$ и $\vec{l}$.

В условии задачи дан угол $\beta = 60^{\circ}$ между вектором скорости $\vec{v}$ и осью проводника $\vec{l}$. Наиболее последовательная физическая модель, приводящая к ненулевому результату, получается при интерпретации этого угла как угла между горизонтальной проекцией скорости $\vec{v}_{\perp}$ и проводником $\vec{l}$ (обозначим его $\gamma = 60^{\circ}$).

Поскольку векторы $\vec{l}$, $\vec{v}_{\perp}$ и $\vec{E}_{эфф}$ лежат в одной горизонтальной плоскости, и $\vec{E}_{эфф} \perp \vec{v}_{\perp}$, угол $\theta$ между $\vec{E}_{эфф}$ и $\vec{l}$ будет равен $90^{\circ} - \gamma$ (или $\gamma - 90^{\circ}$).

Тогда $|\cos(\theta)| = |\cos(90^{\circ} - \gamma)| = \sin(\gamma)$.

Собираем формулу для модуля ЭДС:

$\mathcal{E} = E_{эфф} \cdot l \cdot \sin(\gamma) = (B \cdot v \cdot \sin(\alpha)) \cdot l \cdot \sin(\gamma)$

$\mathcal{E} = B \cdot l \cdot v \cdot \sin(\alpha) \cdot \sin(\gamma)$

Подставим числовые значения:

$\alpha = 30^{\circ}$, $\gamma = 60^{\circ}$

$\mathcal{E} = 0,2 \cdot 0,5 \cdot 10 \cdot \sin(30^{\circ}) \cdot \sin(60^{\circ})$

$\mathcal{E} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

$\mathcal{E} \approx \frac{1,732}{4} \approx 0,433$ В

Полученное значение очень близко к значению 0,435 В, указанному в скобках в условии, что может свидетельствовать о небольшой опечатке в ответе задачника.

Ответ: $\mathcal{E} = \frac{\sqrt{3}}{4} \approx 0,433$ В.