Номер 2, страница 185, часть 2 - гдз по физике 10 класс учебник Кронгарт, Казахбаева

2. Сколько витков проволоки диаметром $0.4 \text{ мм}$ с изоляцией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром $2 \text{ см}$, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью $1 \text{ мГн}$? Витки вплотную прилегают друг к другу.

(Ответ: $10^3$)

Дано:

Диаметр проволоки, $d_{пр} = 0,4 \text{ мм}$

Диаметр картонного цилиндра, $D_{ц} = 2 \text{ см}$

Индуктивность катушки, $L = 1 \text{ мГн}$

Магнитная постоянная, $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}$

Перевод в систему СИ:

$d_{пр} = 0,4 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$D_{ц} = 2 \cdot 10^{-2} \text{ м}$

$L = 1 \cdot 10^{-3} \text{ Гн}$

Найти:

Число витков $\text{N}$.

Решение:

Индуктивность длинного соленоида (катушки), сердечником которого является воздух ($\mu \approx \mu_0$), определяется по формуле:

$L = \frac{\mu_0 N^2 S}{l}$

где $\text{N}$ – число витков, $\text{S}$ – площадь поперечного сечения катушки, $\text{l}$ – длина катушки.

Площадь поперечного сечения катушки, имеющей форму цилиндра, равна:

$S = \pi R^2 = \frac{\pi D_{ц}^2}{4}$

Поскольку витки намотаны вплотную друг к другу, а толщина изоляции ничтожно мала, то длина катушки $\text{l}$ равна произведению числа витков $\text{N}$ на диаметр проволоки $d_{пр}$:

$l = N \cdot d_{пр}$

Подставим выражения для площади $\text{S}$ и длины $\text{l}$ в исходную формулу индуктивности:

$L = \frac{\mu_0 N^2 (\frac{\pi D_{ц}^2}{4})}{N \cdot d_{пр}} = \frac{\mu_0 N \pi D_{ц}^2}{4 d_{пр}}$

Из полученного выражения выразим искомое число витков $\text{N}$:

$N = \frac{4 L d_{пр}}{\mu_0 \pi D_{ц}^2}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ и произведем расчет:

$N = \frac{4 \cdot (1 \cdot 10^{-3}) \cdot (0,4 \cdot 10^{-3})}{(4\pi \cdot 10^{-7}) \cdot \pi \cdot (2 \cdot 10^{-2})^2} = \frac{1,6 \cdot 10^{-6}}{4\pi^2 \cdot 10^{-7} \cdot 4 \cdot 10^{-4}}$

$N = \frac{1,6 \cdot 10^{-6}}{16\pi^2 \cdot 10^{-11}} = \frac{1,6}{16\pi^2} \cdot 10^5 = \frac{0,1}{\pi^2} \cdot 10^5 = \frac{10000}{\pi^2}$

Используя значение $\pi \approx 3,14$, получим $\pi^2 \approx 9,87$.

$N \approx \frac{10000}{9,87} \approx 1013$

В учебных задачах для получения целочисленного ответа часто используется допущение $\pi^2 \approx 10$. Сделаем этот расчет:

$N = \frac{10000}{10} = 1000$

Данный результат совпадает с ответом $10^3$, указанным в условии.

Ответ: 1000 витков.