Номер 15, страница 273 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 8. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Глава 3. Силы в механике. Динамика - номер 15, страница 273.

Условие.

15. Как будет изменяться сила трения между доской и находящимся на ней бруском, если доску приподнимать за один из её концов так, чтобы угол наклона с горизонтом изменялся от 0 до 90°? Начертите график зависимости модуля силы трения от угла наклона доски. Коэффициент трения $\text{μ}$ известен.

Решение.

Дано:

$m$ – масса бруска,
$g$ – ускорение свободного падения,
$\mu$ – коэффициент трения,
$\alpha$ – угол наклона доски к горизонту, изменяющийся от $0^\circ$ до $90^\circ$.

Найти:

Зависимость модуля силы трения $F_{тр}$ от угла наклона $\alpha$ и построить график этой зависимости.

Решение:

На брусок, находящийся на наклонной доске, действуют три силы: сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила нормальной реакции опоры $N$, перпендикулярная доске, и сила трения $F_{тр}$, направленная вдоль доски.

Введем систему координат, в которой ось $Ox$ направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $Oy$ – перпендикулярно ей вверх. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на эти оси:

Проекция на ось $Oy$: $N - mg \cos\alpha = 0$, откуда $N = mg \cos\alpha$.
Проекция на ось $Ox$: $mg \sin\alpha - F_{тр} = ma$, где $a$ – ускорение бруска.

Рассмотрим два случая.

1. Брусок покоится на доске.

Пока брусок находится в состоянии покоя, его ускорение $a=0$. В этом случае сила трения является силой трения покоя $F_{тр.п.}$, и она уравновешивает проекцию силы тяжести на ось $Ox$:

$F_{тр.п.} = mg \sin\alpha$

Состояние покоя сохраняется до тех пор, пока сила трения покоя не достигнет своего максимального значения $F_{тр.п.max} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$. Условие покоя: $F_{тр.п.} \le F_{тр.п.max}$.

$mg \sin\alpha \le \mu mg \cos\alpha$

$\tan\alpha \le \mu$

Это означает, что пока угол наклона $\alpha$ не превышает критического значения $\alpha_0 = \arctan(\mu)$, брусок остается на месте. В этом диапазоне углов, $0 \le \alpha \le \alpha_0$, сила трения растет пропорционально синусу угла наклона.

2. Брусок скользит по доске.

Когда угол наклона становится больше критического, $\alpha > \alpha_0$, брусок начинает скользить. В этом случае на него действует сила трения скольжения $F_{тр.ск.}$. Ее величина определяется формулой:

$F_{тр.ск.} = \mu N = \mu mg \cos\alpha$

В этом диапазоне углов, $\alpha_0 < \alpha \le 90^\circ$, сила трения скольжения уменьшается с ростом угла, так как уменьшается сила нормальной реакции опоры. При $\alpha = 90^\circ$ доска становится вертикально, сила нормальной реакции и, следовательно, сила трения обращаются в ноль.

Таким образом, зависимость силы трения от угла наклона является кусочно-заданной функцией:

$F_{тр}(\alpha) = \begin{cases} mg \sin\alpha, & \text{если } 0 \le \tan\alpha \le \mu \\ \mu mg \cos\alpha, & \text{если } \tan\alpha > \mu \end{cases}$

График зависимости $F_{тр}$ от $\alpha$:

График представляет собой кривую, состоящую из двух частей.

1. На участке от $\alpha = 0$ до $\alpha_0 = \arctan(\mu)$ сила трения растет по синусоидальному закону от $F_{тр}(0) = 0$ до максимального значения $F_{тр.max} = mg \sin\alpha_0$.

2. На участке от $\alpha = \alpha_0$ до $\alpha = 90^\circ$ сила трения убывает по косинусоидальному закону от $F_{тр.max}$ до $F_{тр}(90^\circ) = 0$. В точке $\alpha_0$ значения обеих функций совпадают: $mg \sin\alpha_0 = mg (\tan\alpha_0 \cos\alpha_0) = \mu mg \cos\alpha_0$.

График начинается в точке (0, 0), плавно поднимается до пика в точке $(\alpha_0, \mu mg \cos\alpha_0)$, а затем плавно опускается до точки ($90^\circ$, 0).

Ответ:

При увеличении угла наклона доски $\alpha$ от $0$ до критического значения $\alpha_0 = \arctan(\mu)$, сила трения покоя растет от $0$ до своего максимального значения $F_{тр.max} = mg \sin(\alpha_0)$ по закону $F_{тр} = mg \sin\alpha$. При дальнейшем увеличении угла наклона от $\alpha_0$ до $90^\circ$, брусок скользит, и сила трения скольжения уменьшается от $F_{тр.max}$ до $0$ по закону $F_{тр} = \mu mg \cos\alpha$. График зависимости представляет собой кривую, которая сначала растет по закону синуса, достигает максимума, а затем убывает по закону косинуса.