Номер 10, страница 272 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 10, страница 272.

Условие.

10. За какое время первоначально покоившееся тело соскользнёт с наклонной плоскости высотой $h = 3,0$ м, наклонённой под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту, если при угле наклона плоскости к горизонту $\beta = 10^\circ$ оно движется равномерно?

Решение.

Дано:

$h = 3,0 \text{ м}$

$\alpha = 30°$

$\beta = 10°$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$t$ - ?

Решение:

Решение задачи можно разделить на два этапа. Сначала, используя данные о равномерном движении тела при угле наклона $\beta$, мы найдем коэффициент трения скольжения $\mu$. Затем, зная коэффициент трения, мы рассчитаем ускорение тела и время его соскальзывания с плоскости при угле наклона $\alpha$.

1. Нахождение коэффициента трения.

Когда тело движется равномерно (с постоянной скоростью), его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю. Выберем систему координат, в которой ось Ox направлена вдоль наклонной плоскости вниз, а ось Oy — перпендикулярно ей вверх.

На тело действуют: сила тяжести $mg$, сила нормальной реакции опоры $N$ и сила трения скольжения $F_{тр}$.

Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на оси для угла $\beta=10°$:

На ось Oy: $N - mg \cos\beta = 0 \implies N = mg \cos\beta$

На ось Ox: $mg \sin\beta - F_{тр} = 0 \implies F_{тр} = mg \sin\beta$

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{тр} = \mu N$. Подставив в это выражение найденные значения $N$ и $F_{тр}$, получим:

$\mu mg \cos\beta = mg \sin\beta$

Сократив массу $m$ и ускорение свободного падения $g$, найдем коэффициент трения:

$\mu = \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \tan\beta$

2. Нахождение времени соскальзывания.

Теперь рассмотрим движение тела по наклонной плоскости с углом $\alpha = 30°$. Тело начинает движение из состояния покоя ($v_0 = 0$), поэтому оно движется равноускоренно. Запишем второй закон Ньютона для этого случая:

На ось Oy: $N' - mg \cos\alpha = 0 \implies N' = mg \cos\alpha$

На ось Ox: $mg \sin\alpha - F'_{тр} = ma$, где $a$ — ускорение тела.

Сила трения $F'_{тр} = \mu N' = \mu mg \cos\alpha$. Подставим это выражение в уравнение для оси Ox:

$mg \sin\alpha - \mu mg \cos\alpha = ma$

Сократив массу $m$, найдем ускорение тела:

$a = g(\sin\alpha - \mu \cos\alpha)$

Подставим ранее найденное выражение для $\mu = \tan\beta$:

$a = g(\sin\alpha - \tan\beta \cos\alpha)$

Длина наклонной плоскости $L$ связана с ее высотой $h$ и углом наклона $\alpha$ соотношением $L = \frac{h}{\sin\alpha}$.

Так как тело начинает движение из состояния покоя, путь, пройденный телом, равен $L = \frac{at^2}{2}$. Отсюда можем выразить время движения $t$:

$t = \sqrt{\frac{2L}{a}}$

Подставим выражения для $L$ и $a$:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot \frac{h}{\sin\alpha}}{g(\sin\alpha - \tan\beta \cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{2h}{g \sin\alpha (\sin\alpha - \tan\beta \cos\alpha)}}$

Теперь подставим числовые значения:

$t = \sqrt{\frac{2 \cdot 3,0}{9,8 \cdot \sin(30°) \cdot (\sin(30°) - \tan(10°) \cdot \cos(30°))}}$

$t = \sqrt{\frac{6}{9,8 \cdot 0,5 \cdot (0,5 - 0,1763 \cdot 0,8660)}} \approx \sqrt{\frac{6}{4,9 \cdot (0,5 - 0,1527)}} = \sqrt{\frac{6}{4,9 \cdot 0,3473}} \approx \sqrt{\frac{6}{1,7018}} \approx \sqrt{3,5257} \approx 1,877 \text{ с}$

Округлим результат до двух значащих цифр, как в исходных данных:

Ответ: $t \approx 1,9 \text{ с}$.