Номер 5, страница 271 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 5, страница 271.

Условие.

5. Спутник движется вокруг Земли на расстоянии $\text{H}$ от её поверхности. Радиус Земли $R_0 \gg H$. Определите период обращения спутника. Орбиту считать круговой.

Решение.

Дано:

Высота спутника над поверхностью Земли: $H$

Радиус Земли: $R_0$

Масса Земли: $M$

Масса спутника: $m$

Гравитационная постоянная: $G$

Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g$

Условие: $R_0 \gg H$

Найти:

Период обращения спутника $T$.

Решение:

Спутник движется по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона, сила тяготения равна произведению массы спутника на его центростремительное ускорение:

$F_г = ma_ц$

Сила всемирного тяготения, действующая на спутник, определяется по формуле:

$F_г = G \frac{M m}{r^2}$

где $r$ — радиус орбиты спутника. Радиус орбиты равен сумме радиуса Земли $R_0$ и высоты спутника над поверхностью $H$:

$r = R_0 + H$

Центростремительное ускорение спутника выражается через его линейную скорость $v$ и радиус орбиты $r$:

$a_ц = \frac{v^2}{r} = \frac{v^2}{R_0+H}$

Приравняем силу тяготения и произведение массы на центростремительное ускорение:

$G \frac{M m}{(R_0+H)^2} = m \frac{v^2}{R_0+H}$

Отсюда можно выразить квадрат скорости спутника:

$v^2 = G \frac{M}{R_0+H}$

Период обращения $T$ — это время, за которое спутник совершает один полный оборот. Он связан со скоростью и длиной орбиты $L = 2\pi r$ соотношением:

$T = \frac{L}{v} = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi (R_0+H)}{v}$

Выразим отсюда скорость $v = \frac{2\pi (R_0+H)}{T}$ и подставим в уравнение для квадрата скорости:

$\left(\frac{2\pi (R_0+H)}{T}\right)^2 = G \frac{M}{R_0+H}$

$\frac{4\pi^2 (R_0+H)^2}{T^2} = \frac{GM}{R_0+H}$

Выразим период $T$:

$T^2 = \frac{4\pi^2 (R_0+H)^3}{GM}$

$T = 2\pi \sqrt{\frac{(R_0+H)^3}{GM}}$

Это точная формула для периода обращения. Теперь воспользуемся условием задачи $R_0 \gg H$. Это означает, что высота $H$ очень мала по сравнению с радиусом Земли $R_0$, поэтому можно сделать приближение:

$R_0 + H \approx R_0$

Подставим это приближение в формулу для периода:

$T \approx 2\pi \sqrt{\frac{R_0^3}{GM}}$

Для удобства выразим произведение $GM$ через ускорение свободного падения на поверхности Земли $g$. По определению, $g$ — это ускорение, сообщаемое силой тяжести телу у поверхности Земли:

$mg = G \frac{M m}{R_0^2}$

Отсюда получаем: $g = \frac{GM}{R_0^2}$ или $GM = gR_0^2$.

Подставим это выражение в формулу для периода:

$T \approx 2\pi \sqrt{\frac{R_0^3}{gR_0^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{R_0}{g}}$

Ответ: $T \approx 2\pi \sqrt{\frac{R_0}{g}}$