Номер 2, страница 271 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 8. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Глава 3. Силы в механике. Динамика - номер 2, страница 271.

Условие.

2. На какой глубине $\text{h}$ от поверхности Земли ускорение свободного падения $g_h = 9,7 \text{ м/с}^2$? Радиус Земли $R_{\text{З}} = 6400 \text{ км}$. Ускорение свободного падения на географических полюсах Земли $g_0 = 9,8 \text{ м/с}^2$. Считать Землю однородным шаром.

Решение.

Дано:

$g_h = 9,7 \text{ м/с}^2$

$R_З = 6400 \text{ км} = 6400 \cdot 10^3 \text{ м} = 6,4 \cdot 10^6 \text{ м}$

$g_0 = 9,8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$h$

Решение:

Ускорение свободного падения на поверхности Земли ($g_0$) определяется по формуле:

$g_0 = G\frac{M_З}{R_З^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $R_З$ — радиус Земли.

По условию, Землю можно считать однородным шаром. Тогда ее массу можно выразить через среднюю плотность $\rho$ и объем $V_З = \frac{4}{3}\pi R_З^3$:

$M_З = \rho \cdot V_З = \rho \frac{4}{3}\pi R_З^3$

Подставим это выражение в формулу для $g_0$:

$g_0 = G \frac{\rho \frac{4}{3}\pi R_З^3}{R_З^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho R_З$

На глубине $h$ от поверхности расстояние до центра Земли составляет $r = R_З - h$. Ускорение свободного падения на этой глубине ($g_h$) создается только массой Земли ($M_r$), заключенной в сфере радиусом $r$.

$M_r = \rho \cdot V_r = \rho \frac{4}{3}\pi r^3 = \rho \frac{4}{3}\pi (R_З - h)^3$

Тогда ускорение свободного падения на глубине $h$ будет равно:

$g_h = G \frac{M_r}{r^2} = G \frac{\rho \frac{4}{3}\pi (R_З - h)^3}{(R_З - h)^2} = \frac{4}{3}\pi G \rho (R_З - h)$

Чтобы найти связь между $g_h$ и $g_0$, разделим второе уравнение на первое:

$\frac{g_h}{g_0} = \frac{\frac{4}{3}\pi G \rho (R_З - h)}{\frac{4}{3}\pi G \rho R_З} = \frac{R_З - h}{R_З} = 1 - \frac{h}{R_З}$

Из этого соотношения выразим искомую глубину $h$:

$\frac{h}{R_З} = 1 - \frac{g_h}{g_0}$

$h = R_З \left(1 - \frac{g_h}{g_0}\right)$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$h = 6400 \text{ км} \cdot \left(1 - \frac{9,7 \text{ м/с}^2}{9,8 \text{ м/с}^2}\right) = 6400 \text{ км} \cdot \left(\frac{9,8 - 9,7}{9,8}\right) = 6400 \text{ км} \cdot \frac{0,1}{9,8}$

$h \approx 65,306 \text{ км}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: $h \approx 65,3$ км.