Номер 8, страница 272 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 8, страница 272.

Условие.

8. Посредством пружинного динамометра груз массой $m = 10$ кг тянут по горизонтальной поверхности стола, прикладывая к динамометру горизонтальную силу. Груз при этом движется с ускорением $a = 5$ м/с$^2$. Коэффициент трения груза о стол $\mu = 0,1$. Найдите удлинение $\Delta l$ пружины, если её жёсткость $k = 2000$ Н/м.

Решение.

Дано

$m = 10 \text{ кг}$

$a = 5 \text{ м/с}^2$

$\mu = 0,1$

$k = 2000 \text{ Н/м}$

Все величины представлены в системе СИ.

Найти:

$\Delta l$

Решение

На груз, движущийся по горизонтальной поверхности, действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх; сила упругости пружины динамометра $\vec{F}_{упр}$, направленная горизонтально в сторону движения; и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально против движения.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

$m\vec{a} = \vec{F}_{упр} + \vec{F}_{тр} + \vec{N} + m\vec{g}$

Выберем систему координат: ось OX направим горизонтально по направлению движения, а ось OY – вертикально вверх. Запишем уравнения второго закона Ньютона в проекциях на эти оси:

Проекция на ось OX: $ma = F_{упр} - F_{тр}$

Проекция на ось OY: $0 = N - mg$

Из проекции на ось OY находим силу нормальной реакции опоры:

$N = mg$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением:

$F_{тр} = \mu N = \mu mg$

Подставим выражение для силы трения в уравнение для оси OX:

$ma = F_{упр} - \mu mg$

Отсюда выразим силу упругости, с которой динамометр тянет груз:

$F_{упр} = ma + \mu mg = m(a + \mu g)$

Согласно закону Гука, сила упругости связана с удлинением пружины $\Delta l$ и её жёсткостью $k$:

$F_{упр} = k \Delta l$

Приравнивая два выражения для силы упругости, получаем:

$k \Delta l = m(a + \mu g)$

Из этого уравнения находим искомое удлинение пружины $\Delta l$:

$\Delta l = \frac{m(a + \mu g)}{k}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$\Delta l = \frac{10 \text{ кг} \cdot (5 \text{ м/с}^2 + 0,1 \cdot 10 \text{ м/с}^2)}{2000 \text{ Н/м}} = \frac{10 \cdot (5 + 1)}{2000} \text{ м} = \frac{10 \cdot 6}{2000} \text{ м} = \frac{60}{2000} \text{ м} = \frac{6}{200} \text{ м} = \frac{3}{100} \text{ м} = 0,03 \text{ м}$.

Удлинение пружины составляет 0,03 м или 3 см.

Ответ: $\Delta l = 0,03 \text{ м}$.