Номер 13, страница 272 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 13, страница 272.

Условие.

13. Цилиндрическая труба радиусом $R = 1$ м катится по горизонтальной поверхности так, что её ось перемещается с ускорением $a = 4,9 \text{ м/с}^2$. Внутри трубы находится маленький кубик, коэффициент трения скольжения которого о внутреннюю поверхность трубы $\mu = 0,5$. На какой высоте от горизонтальной поверхности, по которой катится труба, находится кубик? Толщиной стенок трубы пренебречь.

Решение.

Дано:

Радиус трубы, $R = 1$ м

Ускорение оси трубы, $a = 4,9$ м/с²

Коэффициент трения скольжения, $\mu = 0,5$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9,8$ м/с²

Найти:

Высоту, на которой находится кубик, $h$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение кубика в неинерциальной системе отсчета, связанной с осью трубы. Эта система отсчета движется поступательно с ускорением $\vec{a}$. В этой системе кубик находится в покое, значит, сумма всех действующих на него сил, включая силу инерции, равна нулю.

На кубик действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная по радиусу к центру трубы.

3. Сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная по касательной к внутренней поверхности трубы.

4. Сила инерции $\vec{F}_{ин} = -m\vec{a}$, направленная горизонтально в сторону, противоположную ускорению $\vec{a}$.

Положение кубика будем характеризовать углом $\alpha$, который составляет радиус, проведенный к кубику, с вертикалью. Будем считать, что кубик находится на задней стенке трубы (относительно направления движения), так как сила инерции "прижимает" его именно туда.

Условие равновесия кубика в неинерциальной системе отсчета:

$m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_{ин} = 0$

Запишем это уравнение в проекциях на радиальное (направленное от центра) и тангенциальное (направленное вверх по стенке) направления.

Проекция на радиальное направление:

$N - mg \cos\alpha - F_{ин} \sin\alpha = 0$

$N = mg \cos\alpha + ma \sin\alpha$

Проекция на тангенциальное направление:

$F_{тр} - mg \sin\alpha + F_{ин} \cos\alpha = 0$

Сила инерции толкает кубик вверх по дуге, а сила тяжести тянет его вниз. Предположим, что равновесие достигается, когда сила тяжести, стремящаяся сместить кубик вниз, уравновешивается силой инерции и силой трения. Тогда сила трения направлена вверх по стенке трубы (противодействуя скатыванию вниз).

$F_{тр} = mg \sin\alpha - ma \cos\alpha$

Так как кубик находится в состоянии предельного равновесия (используется коэффициент трения скольжения), сила трения равна $F_{тр} = \mu N$. Подставим выражения для $N$ и $F_{тр}$:

$mg \sin\alpha - ma \cos\alpha = \mu (mg \cos\alpha + ma \sin\alpha)$

Сократим на массу $m$ и разделим обе части уравнения на $\cos\alpha$ (при условии, что $\alpha \ne \pi/2$, что физически очевидно):

$g \tan\alpha - a = \mu (g + a \tan\alpha)$

Сгруппируем слагаемые с $\tan\alpha$:

$g \tan\alpha - \mu a \tan\alpha = a + \mu g$

$\tan\alpha (g - \mu a) = a + \mu g$

Отсюда находим тангенс угла $\alpha$:

$\tan\alpha = \frac{a + \mu g}{g - \mu a}$

Подставим числовые значения:

$\tan\alpha = \frac{4,9 + 0,5 \cdot 9,8}{9,8 - 0,5 \cdot 4,9} = \frac{4,9 + 4,9}{9,8 - 2,45} = \frac{9,8}{7,35} = \frac{4}{3}$

Зная тангенс угла, найдем его косинус. Из соотношения $1 + \tan^2\alpha = 1/\cos^2\alpha$ имеем:

$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{1}{1 + (4/3)^2} = \frac{1}{1 + 16/9} = \frac{1}{25/9} = \frac{9}{25}$

$\cos\alpha = \sqrt{9/25} = 3/5$ (угол острый, поэтому косинус положительный).

Высота кубика $h$ над горизонтальной поверхностью, по которой катится труба, складывается из высоты центра трубы ($R$) и вертикального смещения кубика относительно центра ($-R \cos\alpha$):

$h = R - R \cos\alpha = R(1 - \cos\alpha)$

Подставим значения $R$ и $\cos\alpha$:

$h = 1 \cdot (1 - 3/5) = 1 \cdot (2/5) = 0,4$ м.

Ответ: 0,4 м.