Номер 14, страница 272 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 14, страница 272.

Условие.

14. На гладком горизонтальном столе лежит брусок массой $m_1 = 2 \text{ кг}$, на который положен второй брусок массой $m_2 = 1 \text{ кг}$. Оба бруска соединены невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок (рис. 3.52). Какую силу $\vec{F}$ надо приложить к нижнему бруску в горизонтальном направлении, чтобы он начал двигаться с постоянным ускорением $a = \frac{g}{2}$? Коэффициент трения между брусками $\mu = 0,5$.

Рис. 3.52

Решение.

Дано

$m_1 = 2$ кг

$m_2 = 1$ кг

$μ = 0,5$

$a = \frac{g}{2}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

Найти:

$F$ - ?

Решение

Введём систему координат: ось OX направим горизонтально вправо, ось OY – вертикально вверх. Поскольку бруски соединены нитью, перекинутой через неподвижный блок, их ускорения относительно стола будут равны по модулю и противоположны по направлению. Пусть ускорение бруска $m_1$ равно $a$ и направлено вправо, тогда ускорение бруска $m_2$ равно $a$ и направлено влево.

Рассмотрим силы, действующие на каждый брусок, и запишем для них второй закон Ньютона.

1. Для верхнего бруска $m_2$:

По оси OY на брусок действуют сила тяжести $m_2g$ и сила нормальной реакции $N_2$ со стороны бруска $m_1$. Так как вертикального движения нет, эти силы уравновешены:

$N_2 - m_2g = 0 \implies N_2 = m_2g$

По оси OX на брусок действуют сила натяжения нити $T$ (влево) и сила трения скольжения $F_{тр}$ со стороны бруска $m_1$. Брусок $m_2$ движется влево относительно бруска $m_1$, поэтому сила трения направлена вправо. Величина силы трения скольжения:

$F_{тр} = μ N_2 = μ m_2 g$

Второй закон Ньютона в проекции на ось OX (ускорение $a$ направлено влево, т.е. его проекция равна $-a$):

$-T + F_{тр} = m_2(-a)$

$T - F_{тр} = m_2 a$

Подставим выражение для силы трения:

$T - μ m_2 g = m_2 a$ (1)

2. Для нижнего бруска $m_1$:

По оси OX на брусок действуют приложенная сила $F$ (вправо), сила натяжения нити $T$ (влево) и сила трения $F'_{тр}$ со стороны бруска $m_2$. По третьему закону Ньютона, $F'_{тр} = F_{тр}$, и эта сила направлена влево. Трение между столом и бруском $m_1$ отсутствует, так как стол гладкий. Ускорение бруска $a$ направлено вправо.

Второй закон Ньютона в проекции на ось OX:

$F - T - F'_{тр} = m_1 a$

Подставим выражение для силы трения:

$F - T - μ m_2 g = m_1 a$ (2)

Получили систему из двух уравнений (1) и (2). Выразим силу $T$ из первого уравнения и подставим во второе.

Из (1): $T = m_2 a + μ m_2 g$

Подставляем в (2):

$F - (m_2 a + μ m_2 g) - μ m_2 g = m_1 a$

$F - m_2 a - 2 μ m_2 g = m_1 a$

Выразим искомую силу $F$:

$F = m_1 a + m_2 a + 2 μ m_2 g$

$F = (m_1 + m_2) a + 2 μ m_2 g$

По условию задачи $a = \frac{g}{2}$. Подставим это значение в формулу:

$F = (m_1 + m_2) \frac{g}{2} + 2 μ m_2 g$

Можно вынести $g$ за скобки для удобства вычислений:

$F = g \left( \frac{m_1 + m_2}{2} + 2 μ m_2 \right)$

Теперь подставим числовые значения:

$F = 9,8 \cdot \left( \frac{2 + 1}{2} + 2 \cdot 0,5 \cdot 1 \right)$

$F = 9,8 \cdot \left( \frac{3}{2} + 1 \right)$

$F = 9,8 \cdot (1,5 + 1)$

$F = 9,8 \cdot 2,5 = 24,5$ Н

Ответ: $F = 24,5$ Н.