Номер 7, страница 272 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 8. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Глава 3. Силы в механике. Динамика - номер 7, страница 272.

Условие.

7. Имеются две пружины, жёсткости которых равны соответственно $k_1$ и $k_2$. Какова жёсткость двух пружин, соединённых: а) параллельно; б) последовательно?

Решение.

Дано:

Имеются две пружины с жёсткостями $k_1$ и $k_2$.

Найти:

а) Эквивалентную жёсткость $k_{парал}$ при параллельном соединении.

б) Эквивалентную жёсткость $k_{последоват}$ при последовательном соединении.

Решение:

а) параллельно

При параллельном соединении пружины крепятся к одному и тому же телу и деформируются (растягиваются или сжимаются) на одинаковую величину $x$. Общая сила упругости $F_{общ}$, действующая на тело, равна сумме сил упругости, возникающих в каждой пружине ($F_1$ и $F_2$).

$F_{общ} = F_1 + F_2$

Согласно закону Гука, сила упругости, возникающая в пружине, пропорциональна её деформации: $F = kx$.

Для каждой пружины:

$F_1 = k_1 x$

$F_2 = k_2 x$

Для всей системы пружин, которую можно представить как одну эквивалентную пружину с жёсткостью $k_{парал}$, закон Гука будет выглядеть так:

$F_{общ} = k_{парал} x$

Подставим все выражения в исходное уравнение для сил:

$k_{парал} x = k_1 x + k_2 x$

Поскольку деформация $x$ одинакова для обеих пружин и не равна нулю, мы можем сократить на неё обе части уравнения:

$k_{парал} = k_1 + k_2$

Ответ: При параллельном соединении общая жёсткость системы равна сумме жёсткостей пружин: $k_{парал} = k_1 + k_2$.

б) последовательно

При последовательном соединении пружины соединены друг с другом "конец в конец". Если к такой системе приложить силу $F$, то согласно третьему закону Ньютона, на каждую из пружин будет действовать одна и та же сила $F$. При этом общее удлинение системы $x_{общ}$ будет равно сумме удлинений каждой из пружин ($x_1$ и $x_2$).

$x_{общ} = x_1 + x_2$

Из закона Гука $F = kx$ выразим удлинение каждой пружины:

$x_1 = \frac{F}{k_1}$

$x_2 = \frac{F}{k_2}$

Для всей системы, как для одной эквивалентной пружины с жёсткостью $k_{последоват}$, удлинение будет:

$x_{общ} = \frac{F}{k_{последоват}}$

Подставим выражения для удлинений в исходное уравнение:

$\frac{F}{k_{последоват}} = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2}$

Поскольку приложенная сила $F$ не равна нулю, мы можем сократить на неё обе части уравнения:

$\frac{1}{k_{последоват}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

Приведя правую часть к общему знаменателю, можно выразить $k_{последоват}$ в явном виде:

$\frac{1}{k_{последоват}} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2} \implies k_{последоват} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Ответ: При последовательном соединении величина, обратная общей жёсткости, равна сумме величин, обратных жёсткостям пружин: $\frac{1}{k_{последоват}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$.