Номер 1, страница 271 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 8. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Глава 3. Силы в механике. Динамика - номер 1, страница 271.

Условие.

1. Среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно 60 земным радиусам, а масса Луны в 81 раз меньше массы Земли. В какой точке прямой, соединяющей их центры, следует поместить тело, чтобы оно притягивалось к Земле и Луне с одинаковыми силами?

Решение.

Дано:

Среднее расстояние между центрами Земли и Луны: $R = 60 R_З$, где $R_З$ - радиус Земли.

Соотношение масс Земли ($M_З$) и Луны ($M_Л$): $M_З = 81 M_Л$.

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как ответ можно выразить в земных радиусах, которые являются относительной единицей.

Найти:

Расстояние $x$ от центра Земли до точки на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, в которой силы притяжения к ним равны.

Решение:

Пусть $m$ - масса тела, помещенного на прямой, соединяющей центры Земли и Луны. Обозначим расстояние от центра Земли до этого тела как $x$. Тогда расстояние от центра Луны до тела будет равно $(R - x)$.

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения тела к Земле ($F_З$) и к Луне ($F_Л$) выражается формулами:

$F_З = G \frac{M_З m}{x^2}$

$F_Л = G \frac{M_Л m}{(R - x)^2}$

где $G$ - гравитационная постоянная.

По условию задачи, эти силы должны быть равны: $F_З = F_Л$.

$G \frac{M_З m}{x^2} = G \frac{M_Л m}{(R - x)^2}$

Сократим $G$ и $m$ в обеих частях уравнения, так как они не равны нулю:

$\frac{M_З}{x^2} = \frac{M_Л}{(R - x)^2}$

Подставим известное соотношение масс $M_З = 81 M_Л$:

$\frac{81 M_Л}{x^2} = \frac{M_Л}{(R - x)^2}$

Сократим массу Луны $M_Л$:

$\frac{81}{x^2} = \frac{1}{(R - x)^2}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку точка находится между Землей и Луной, расстояния $x$ и $R-x$ положительны, поэтому мы берем положительные значения корней:

$\sqrt{\frac{81}{x^2}} = \sqrt{\frac{1}{(R - x)^2}}$

$\frac{9}{x} = \frac{1}{R - x}$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$9(R - x) = x$

$9R - 9x = x$

$9R = 10x$

$x = \frac{9}{10}R$

Подставим значение $R = 60 R_З$:

$x = \frac{9}{10} \cdot 60 R_З = 9 \cdot 6 R_З = 54 R_З$

Таким образом, точка, в которой силы притяжения уравновешиваются, находится на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.

Ответ: Тело следует поместить в точке на прямой, соединяющей центры Земли и Луны, на расстоянии 54 земных радиусов от центра Земли.