Номер 12, страница 272 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Динамика. Глава 3. Силы в механике. Параграф 3.17. Примеры решения задач. Упражнение 8 - номер 12, страница 272.

Условие.

12. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$. На плоскость положили тело и толкнули вверх. В течение времени $t_1 = 0,7$ с тело прошло расстояние $l = 1,4$ м, после чего начало соскальзывать вниз. Сколько времени длится соскальзывание до начального положения тела? Каков коэффициент трения тела о наклонную плоскость?

Решение.

Дано:

$\alpha = 30^\circ$

$t_1 = 0,7$ с

$l = 1,4$ м

Примем ускорение свободного падения $g = 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$t_2$ - ?

$\mu$ - ?

Решение:

Рассмотрим движение тела в двух случаях: при подъеме и при соскальзывании.

1. Движение вверх. Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вверх. На тело действуют сила тяжести $mg$, сила реакции опоры $N$ и сила трения скольжения $F_{тр}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая сил равна $ma_1$. В проекции на ось $Ox$:

$-mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma_1$

Сила трения $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos(\alpha)$. Тогда:

$-mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma_1 \implies a_1 = -g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$

Движение равнозамедленное. Путь, пройденный до остановки, можно найти из формулы $l = -\frac{a_1 t_1^2}{2}$. Отсюда модуль ускорения $|a_1| = \frac{2l}{t_1^2}$.

Следовательно, $\frac{2l}{t_1^2} = g(\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha))$ (1)

2. Движение вниз. Направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вниз. Сила трения теперь направлена вверх. Второй закон Ньютона в проекции на ось $Ox$:

$mg \sin(\alpha) - F_{тр} = ma_2$

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma_2 \implies a_2 = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Движение равноускоренное с начальной скоростью, равной нулю. Путь $l$ тело проходит за время $t_2$: $l = \frac{a_2 t_2^2}{2}$. Отсюда $a_2 = \frac{2l}{t_2^2}$.

Следовательно, $\frac{2l}{t_2^2} = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $t_2$ и $\mu$.

Сколько времени длится соскальзывание до начального положения тела?

Для нахождения времени $t_2$ исключим $\mu$ из системы. Для этого выразим $g \mu \cos(\alpha)$ из обоих уравнений:

Из (1): $g \mu \cos(\alpha) = \frac{2l}{t_1^2} - g \sin(\alpha)$

Из (2): $g \mu \cos(\alpha) = g \sin(\alpha) - \frac{2l}{t_2^2}$

Приравняем правые части:

$\frac{2l}{t_1^2} - g \sin(\alpha) = g \sin(\alpha) - \frac{2l}{t_2^2}$

$\frac{2l}{t_1^2} + \frac{2l}{t_2^2} = 2g \sin(\alpha)$

$\frac{l}{g}(\frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2}) = \sin(\alpha) \implies \frac{1}{t_1^2} + \frac{1}{t_2^2} = \frac{g \sin(\alpha)}{l}$

Выразим $\frac{1}{t_2^2}$:

$\frac{1}{t_2^2} = \frac{g \sin(\alpha)}{l} - \frac{1}{t_1^2}$

Подставим числовые значения:

$\frac{g \sin(\alpha)}{l} = \frac{9,8 \cdot \sin(30^\circ)}{1,4} = \frac{9,8 \cdot 0,5}{1,4} = \frac{4,9}{1,4} = 3,5 \text{ с}^{-2}$

$\frac{1}{t_1^2} = \frac{1}{(0,7)^2} = \frac{1}{0,49} \approx 2,041 \text{ с}^{-2}$

$\frac{1}{t_2^2} = 3,5 - 2,041 = 1,459 \text{ с}^{-2}$

$t_2^2 = \frac{1}{1,459} \approx 0,6854 \text{ с}^2$

$t_2 = \sqrt{0,6854} \approx 0,83$ с.

Ответ: Соскальзывание до начального положения длится примерно $0,83$ с.

Каков коэффициент трения тела о наклонную плоскость?

Для нахождения $\mu$ сложим уравнения (1) и (2), предварительно разделив их на $g$:

$\frac{2l}{gt_1^2} = \sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)$

$\frac{2l}{gt_2^2} = \sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)$

Вычтем второе уравнение из первого:

$\frac{2l}{gt_1^2} - \frac{2l}{gt_2^2} = (\sin(\alpha) + \mu \cos(\alpha)) - (\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

$\frac{2l}{g}(\frac{1}{t_1^2} - \frac{1}{t_2^2}) = 2\mu \cos(\alpha)$

$\mu = \frac{l}{g \cos(\alpha)}(\frac{1}{t_1^2} - \frac{1}{t_2^2})$

Подставим известные нам значения $\frac{1}{t_1^2}$ и $\frac{1}{t_2^2}$:

$\mu = \frac{1,4}{9,8 \cdot \cos(30^\circ)}(2,041 - 1,459) = \frac{1,4}{9,8 \cdot 0,866}(0,582)$

$\mu = \frac{1,4}{8,487} \cdot 0,582 \approx 0,165 \cdot 0,582 \approx 0,096$

Ответ: Коэффициент трения тела о наклонную плоскость $\mu \approx 0,096$.