Номер 17, страница 433 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 17, страница 433.

Условие.

17. На каком расстоянии $\text{x}$ от дна находится центр тяжести тонкостенного цилиндрического стакана высотой $h = 12 \text{ см}$ и диаметром $d = 8 \text{ см}$, если толщина дна в два раза больше толщины стенок?

Решение.

Дано:

Высота стакана, $h = 12 \text{ см}$

Диаметр стакана, $d = 8 \text{ см}$

Толщина дна $t_д$ в два раза больше толщины стенок $t_с$, $t_д = 2t_с$

$h = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$d = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Расстояние центра тяжести от дна, $x$

Решение:

Центр тяжести стакана можно найти как центр тяжести системы, состоящей из двух тел: дна (диск) и стенок (боковая поверхность цилиндра). Поскольку стакан симметричен относительно своей оси, центр тяжести будет лежать на этой оси. Найдем его координату по высоте, приняв за начало отсчета (нулевой уровень) плоскость дна.

Координата центра тяжести системы тел определяется по формуле:

$x = \frac{m_д x_д + m_с x_с}{m_д + m_с}$

где $m_д$ и $x_д$ — масса и координата центра тяжести дна, а $m_с$ и $x_с$ — масса и координата центра тяжести стенок.

Так как стакан тонкостенный, центр тяжести его дна находится в его плоскости, то есть $x_д = 0$. Центр тяжести боковой поверхности цилиндра находится на середине его высоты, то есть $x_с = h/2$.

Найдем массы дна и стенок. Пусть $t_с = t$ — толщина стенок, тогда толщина дна $t_д = 2t$. Пусть $\rho$ — плотность материала стакана.

Радиус стакана: $R = d/2 = 8 \text{ см} / 2 = 4 \text{ см}$.

Масса дна (диска):

$m_д = \rho V_д = \rho \cdot (\pi R^2) \cdot t_д = \rho \cdot \pi R^2 \cdot 2t$

Масса стенок (боковой поверхности цилиндра):

$m_с = \rho V_с = \rho \cdot (2\pi R h) \cdot t_с = \rho \cdot 2\pi R h \cdot t$

Подставим выражения для масс и координат в формулу для центра тяжести:

$x = \frac{(\rho \pi R^2 2t) \cdot 0 + (\rho 2\pi R h t) \cdot \frac{h}{2}}{\rho \pi R^2 2t + \rho 2\pi R h t}$

Упростим выражение, сократив общие множители $\rho$, $\pi$, $R$ и $t$:

$x = \frac{2\pi R h t \cdot \frac{h}{2}}{2\pi R t (R + h)} = \frac{\pi R h^2 t}{2\pi R t (R + h)} = \frac{h^2}{2(R+h)}$

Подставим числовые значения. Можно использовать сантиметры, так как единицы измерения в числителе и знаменателе сократятся, и ответ получится в сантиметрах.

$R = 4 \text{ см}$

$h = 12 \text{ см}$

$x = \frac{12^2}{2(4+12)} = \frac{144}{2 \cdot 16} = \frac{144}{32} = 4.5 \text{ см}$

Ответ: $x = 4.5 \text{ см}$.