Номер 13, страница 432 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 13, страница 432.

Условие.

13. К гвоздю, вбитому в стену, привязана нить, намотанная на катушку. Катушка висит, касаясь стены (рис. 8.38), причём нить составляет со стеной угол $\alpha = 30^\circ$. Радиус цилиндрической части катушки $r = 1$ см, радиус её щёчек $R = 10$ см. Найдите минимальное значение коэффициента трения между стеной и катушкой.

Рис. 8.38

Решение.

Дано:

Угол нити со стеной, $\alpha = 30^\circ$
Радиус цилиндрической части катушки, $r = 1$ см
Радиус щёчек катушки, $R = 10$ см

$r = 0.01$ м
$R = 0.1$ м

Найти:

Минимальное значение коэффициента трения, $\mu_{min}$

Решение:

Катушка находится в равновесии, следовательно, сумма всех сил, действующих на неё, и сумма моментов всех сил равны нулю. Рассмотрим силы, действующие на катушку:
1. Сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз и приложенная к центру масс катушки.
2. Сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали.
3. Сила нормальной реакции опоры $N$ со стороны стены, направленная горизонтально от стены.
4. Сила трения покоя $F_{тр}$, направленная вертикально вверх вдоль стены (противодействует соскальзыванию вниз).

Для нахождения минимального коэффициента трения рассмотрим предельный случай равновесия, когда сила трения покоя достигает своего максимального значения: $F_{тр} = \mu_{min} N$.

Запишем условия равновесия. Выберем систему координат с осью $OX$, направленной горизонтально от стены, и осью $OY$, направленной вертикально вверх. Начало координат — в центре катушки.

Первое условие равновесия (равенство нулю суммы проекций всех сил на оси координат):
На ось $OX$: $N - T \sin \alpha = 0$
На ось $OY$: $F_{тр} + T \cos \alpha - mg = 0$

Из первого уравнения выразим силу нормальной реакции:
$N = T \sin \alpha$ (1)

Второе условие равновесия (равенство нулю суммы моментов сил относительно центра катушки O):
Моменты силы тяжести и силы нормальной реакции равны нулю, так как линии их действия проходят через центр катушки.
Момент силы натяжения нити $M_T$ равен $T \cdot r$ и вращает катушку против часовой стрелки (положительное направление).
Момент силы трения $M_{тр}$ равен $F_{тр} \cdot R$ и вращает катушку по часовой стрелке (отрицательное направление).
$\sum M_O = M_T - M_{тр} = 0$
$T \cdot r - F_{тр} \cdot R = 0$
$T \cdot r = F_{тр} \cdot R$ (2)

Теперь у нас есть система уравнений для нахождения $\mu_{min}$.
Из уравнения (2) выразим силу натяжения $T$ через силу трения $F_{тр}$:
$T = F_{тр} \frac{R}{r}$

Подставим это выражение для $T$ в уравнение (1):
$N = \left( F_{тр} \frac{R}{r} \right) \sin \alpha$

Минимальный коэффициент трения определяется как отношение силы трения к силе нормальной реакции в предельном случае:
$\mu_{min} = \frac{F_{тр}}{N}$

Подставим выражение для $N$:
$\mu_{min} = \frac{F_{тр}}{F_{тр} \frac{R}{r} \sin \alpha} = \frac{1}{\frac{R}{r} \sin \alpha} = \frac{r}{R \sin \alpha}$

Теперь подставим числовые значения:
$\sin 30^\circ = 0.5$
$\mu_{min} = \frac{1 \text{ см}}{10 \text{ см} \cdot \sin 30^\circ} = \frac{1}{10 \cdot 0.5} = \frac{1}{5} = 0.2$

Ответ: Минимальное значение коэффициента трения между стеной и катушкой равно 0.2.