Номер 10, страница 432 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 10, страница 432.

Условие.

10. Какой должна быть наименьшая скорость мотоциклиста, чтобы он мог ехать по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом 6 м в горизонтальной плоскости, если известно, что коэффициент трения скольжения между шинами и поверхностью цилиндра равен 0,4? Определите угол наклона корпуса мотоциклиста к вертикали.

Решение.

Дано:

Радиус цилиндра $R = 6$ м.

Коэффициент трения скольжения $\mu = 0,4$.

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Наименьшую скорость $v_{min}$ - ?

Угол наклона к вертикали $\alpha$ - ?

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на мотоциклиста как на материальную точку. В инерциальной системе отсчета, связанной с землей, на него действуют три силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ со стороны стенки цилиндра, направленная горизонтально к центру окружности; и сила трения скольжения $\vec{F}_{тр}$, направленная вертикально вверх, так как она препятствует соскальзыванию мотоциклиста вниз.

Мотоциклист движется равномерно по окружности в горизонтальной плоскости, следовательно, его ускорение является центростремительным, направлено горизонтально к центру окружности и равно по модулю $a_c = \frac{v^2}{R}$. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси координат: ось X направим горизонтально к центру окружности, а ось Y — вертикально вверх.

Проекция на ось X: $N = ma_c = m \frac{v^2}{R}$ (1)

Проекция на ось Y: $F_{тр} - mg = 0$, откуда $F_{тр} = mg$ (2)

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции соотношением $F_{тр} \leq \mu N$. Чтобы мотоциклист не соскальзывал вниз, сила трения должна уравновешивать силу тяжести. Минимальная скорость соответствует условию, когда сила трения максимальна и равна силе тяжести: $F_{тр} = mg = \mu N$.

Наименьшая скорость мотоциклиста

Для нахождения минимальной скорости $v_{min}$ воспользуемся полученными соотношениями. Подставим выражения для $N$ из (1) и $F_{тр}$ из (2) в условие для минимальной скорости $mg = \mu N$:

$mg = \mu \left( m \frac{v_{min}^2}{R} \right)$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, выразим квадрат скорости:

$v_{min}^2 = \frac{gR}{\mu}$

Отсюда находим минимальную скорость:

$v_{min} = \sqrt{\frac{gR}{\mu}}$

Произведем вычисления, подставив известные значения:

$v_{min} = \sqrt{\frac{9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 6 \text{ м}}{0,4}} = \sqrt{\frac{58,8}{0,4}} \text{ м/с} = \sqrt{147} \text{ м/с} \approx 12,12$ м/с.

Ответ: Наименьшая скорость мотоциклиста $v_{min} \approx 12,1$ м/с.

Угол наклона корпуса мотоциклиста к вертикали

Чтобы сохранить равновесие и не опрокинуться, мотоциклист наклоняется. Условием равновесия является то, что равнодействующая всех сил, приложенных к мотоциклу со стороны стенки (сила нормальной реакции $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$), должна проходить через центр масс системы "мотоциклист + мотоцикл". Эта равнодействующая сила $\vec{R}_{оп} = \vec{N} + \vec{F}_{тр}$ направлена под некоторым углом к вертикали. Угол наклона корпуса мотоциклиста $\alpha$ к вертикали будет равен этому углу.

Тангенс угла наклона к вертикали определяется как отношение горизонтальной составляющей силы ($N$) к вертикальной ($F_{тр}$):

$\tan \alpha = \frac{N}{F_{тр}}$

Для случая движения с минимальной скоростью мы установили, что $F_{тр} = \mu N$. Подставим это в формулу для тангенса угла:

$\tan \alpha = \frac{N}{\mu N} = \frac{1}{\mu}$

Подставим числовое значение коэффициента трения:

$\tan \alpha = \frac{1}{0,4} = 2,5$

Найдем сам угол $\alpha$:

$\alpha = \arctan(2,5) \approx 68,2^\circ$

Ответ: Угол наклона корпуса мотоциклиста к вертикали $\alpha \approx 68,2^\circ$.