Номер 4, страница 431 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 8. Статика. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Упражнение 15 - номер 4, страница 431.

Условие.

4. При взвешивании на неравноплечих весах масса тела на одной чашке получилась равной 2 кг, а на другой — 4,5 кг. Определите истинную массу тела.

Решение.

Дано:

Масса гирь в первом взвешивании, $m_1 = 2$ кг

Масса гирь во втором взвешивании, $m_2 = 4.5$ кг

Найти:

Истинная масса тела, $m$ - ?

Решение:

Поскольку весы неравноплечие, их плечи имеют разную длину. Обозначим длины плеч как $l_1$ и $l_2$. Пусть $m$ — истинная масса взвешиваемого тела.

При взвешивании весы находятся в равновесии, когда моменты сил, действующих на левое и правое плечи, равны. Момент силы определяется как произведение силы на длину плеча.

В первом случае тело с массой $m$ поместили на одну чашку (например, на плечо $l_1$), а для уравновешивания на другую чашку (на плечо $l_2$) положили гири массой $m_1$. Силы, действующие на чашки, — это веса тела ($mg$) и гирь ($m_1g$). Условие равновесия:

$m \cdot g \cdot l_1 = m_1 \cdot g \cdot l_2$

Сократив на ускорение свободного падения $g$, получим первое уравнение:

$m \cdot l_1 = m_1 \cdot l_2$ (1)

Во втором случае тело с массой $m$ поместили на другую чашку (на плечо $l_2$), а для уравновешивания на первую чашку (на плечо $l_1$) положили гири массой $m_2$. Условие равновесия для этого случая:

$m_2 \cdot g \cdot l_1 = m \cdot g \cdot l_2$

Сократив на $g$, получим второе уравнение:

$m_2 \cdot l_1 = m \cdot l_2$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений. Чтобы найти массу $m$, разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{m \cdot l_1}{m_2 \cdot l_1} = \frac{m_1 \cdot l_2}{m \cdot l_2}$

Сократим длины плеч $l_1$ и $l_2$ в левой и правой частях соответственно:

$\frac{m}{m_2} = \frac{m_1}{m}$

Из этой пропорции выразим $m^2$:

$m^2 = m_1 \cdot m_2$

Следовательно, истинная масса тела является средним геометрическим двух полученных при взвешивании значений массы:

$m = \sqrt{m_1 \cdot m_2}$

Подставим данные из условия задачи:

$m = \sqrt{2 \cdot 4.5} = \sqrt{9} = 3$ кг.

Ответ: истинная масса тела равна 3 кг.