Номер 3, страница 431 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 3, страница 431.

Условие.

3. На три пружины одинаковой длины положили балку так, что две пружины одинаковой жёсткости подпирают концы балки, а в середине балку поддерживает пружина, жёсткость которой в два раза больше. Найдите силы, действующие на балку со стороны пружин, если масса балки $\text{m}$.

Решение.

Дано:

Масса балки - $m$

Жесткость крайних пружин - $k_1, k_3$

Жесткость средней пружины - $k_2$

Соотношение жесткостей: $k_1 = k_3 = k$, $k_2 = 2k$

Все пружины имеют одинаковую начальную длину.

Найти:

Силы упругости пружин - $F_1, F_2, F_3$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на балку. Вниз действует сила тяжести $mg$, приложенная к центру масс балки (ее середине). Вверх действуют три силы упругости со стороны пружин: $F_1$ и $F_3$ по краям и $F_2$ в середине.

Поскольку балка находится в состоянии покоя, она находится в равновесии. Это означает, что сумма всех сил, действующих на балку, равна нулю, и сумма моментов всех сил относительно любой точки также равна нулю.

Запишем первое условие равновесия (равенство сил), спроецировав их на вертикальную ось:

$F_1 + F_2 + F_3 = mg$

Так как балка является жестким телом, а пружины расположены симметрично (две одинаковые по краям, одна в центре), то после установки балки она займет горизонтальное положение. Это значит, что все три пружины сожмутся на одинаковую величину, которую обозначим $\Delta x$.

Согласно закону Гука, сила упругости пружины пропорциональна ее деформации: $F = k \cdot \Delta x$.

Тогда мы можем выразить силы упругости через жесткости пружин и их общее сжатие $\Delta x$:

$F_1 = k_1 \cdot \Delta x = k \cdot \Delta x$

$F_3 = k_3 \cdot \Delta x = k \cdot \Delta x$

$F_2 = k_2 \cdot \Delta x = 2k \cdot \Delta x$

Из этих выражений видно, что силы, действующие со стороны крайних пружин, равны ($F_1 = F_3$), а сила, действующая со стороны центральной пружины, в два раза больше каждой из крайних ($F_2 = 2F_1$).

Теперь подставим эти соотношения в уравнение равновесия сил:

$F_1 + (2F_1) + F_1 = mg$

$4F_1 = mg$

Отсюда находим силу $F_1$:

$F_1 = \frac{mg}{4}$

Зная $F_1$, находим остальные силы:

$F_3 = F_1 = \frac{mg}{4}$

$F_2 = 2F_1 = 2 \cdot \frac{mg}{4} = \frac{mg}{2}$

Таким образом, силы, действующие на балку со стороны пружин, найдены. Можно проверить выполнение второго условия равновесия (равенство моментов). Если выбрать ось вращения в центре балки, то моменты силы тяжести и силы $F_2$ равны нулю. Моменты сил $F_1$ и $F_3$ равны по величине, но противоположны по направлению, поэтому их сумма также равна нулю, и балка находится в равновесии.

Ответ: Силы, действующие со стороны пружин, подпирающих концы балки, равны $ \frac{mg}{4} $ каждая. Сила, действующая со стороны пружины в середине балки, равна $ \frac{mg}{2} $.