Номер 8, страница 431 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 8. Статика. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Упражнение 15 - номер 8, страница 431.

Условие.

8. Рычаг изогнут так, что его стороны $AB$, $BC$ и $CD$ равны между собой и образуют друг с другом прямые углы (рис. 8.34). Ось рычага проходит через точку $\text{B}$. Перпендикулярно плечу рычага $AB$ в точке $\text{A}$ приложена сила $\vec{F}$. Определите минимальное значение силы, которую нужно приложить к точке $\text{D}$, чтобы рычаг находился в равновесии. Весом рычага пренебречь.

Рис. 8.34

Решение.

Дано:

Рычаг ABCD, ось вращения в точке B.

$AB = BC = CD = L$

$\angle ABC = 90^\circ$

$\angle BCD = 90^\circ$

В точке A приложена сила $\vec{F}$ перпендикулярно AB.

Рычаг находится в равновесии.

Найти:

$F_{D,min}$ — минимальное значение силы, приложенной в точке D.

Решение:

Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, вращающих его по часовой стрелке и против часовой стрелки, относительно оси вращения. Ось вращения проходит через точку B.

Сила $\vec{F}$, приложенная в точке A, создает вращающий момент $M_F$. Поскольку сила $\vec{F}$ перпендикулярна рычагу AB, ее плечо равно длине AB.

$M_F = F \cdot AB = F \cdot L$

Этот момент стремится повернуть рычаг по часовой стрелке.

Чтобы рычаг находился в равновесии, в точке D нужно приложить силу $\vec{F_D}$, которая создаст момент $M_{F_D}$, равный по величине и противоположный по направлению моменту $M_F$.

$M_F = M_{F_D}$

$F \cdot L = F_D \cdot l_D$

Здесь $l_D$ — плечо силы $\vec{F_D}$, то есть кратчайшее расстояние от оси вращения B до линии действия силы $\vec{F_D}$.

Из этого уравнения можно выразить величину силы $F_D$:

$F_D = \frac{F \cdot L}{l_D}$

Чтобы значение силы $F_D$ было минимальным ($F_{D,min}$), ее плечо $l_D$ должно быть максимальным ($l_{D,max}$). Максимально возможное плечо для силы, приложенной в точке D, равно расстоянию от оси вращения B до точки D. Это достигается в том случае, когда вектор силы $\vec{F_D}$ перпендикулярен отрезку BD.

$l_{D,max} = BD$

Найдем длину отрезка BD. По условию, стороны BC и CD равны $L$ и образуют прямой угол. Следовательно, треугольник BCD является прямоугольным с катетами BC и CD и гипотенузой BD. По теореме Пифагора:

$BD^2 = BC^2 + CD^2$

$BD^2 = L^2 + L^2 = 2L^2$

$BD = \sqrt{2L^2} = L\sqrt{2}$

Таким образом, максимальное плечо силы $l_{D,max} = L\sqrt{2}$.

Теперь можем найти минимальное значение силы $F_{D,min}$:

$F_{D,min} = \frac{F \cdot L}{l_{D,max}} = \frac{F \cdot L}{L\sqrt{2}} = \frac{F}{\sqrt{2}}$

Ответ: Минимальное значение силы, которую нужно приложить к точке D, чтобы рычаг находился в равновесии, равно $\frac{F}{\sqrt{2}}$.