Номер 14, страница 433 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 8. Статика. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Упражнение 15 - номер 14, страница 433.

Условие.

14. На однородный цилиндр навита верёвка, конец которой закреплён в верхней точке наклонной плоскости. Цилиндр расположен на наклонной плоскости так, что верёвка горизонтальна (рис. 8.39). Масса цилиндра $m = 10 \text{ кг}$. Найдите модуль силы нормального давления цилиндра на плоскость.

Рис. 8.39

Решение.

Дано:

Масса цилиндра, $m = 10$ кг
Ускорение свободного падения, $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Найти:

Модуль силы нормального давления, $N$ - ?

Решение:

На цилиндр, находящийся в равновесии на наклонной плоскости, действуют четыре силы:
1. Сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.
2. Сила натяжения веревки $\vec{T}$, направленная горизонтально.
3. Сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$, направленная перпендикулярно наклонной плоскости.
4. Сила трения покоя $\vec{f}_{тр}$, направленная вдоль наклонной плоскости.

Поскольку цилиндр находится в состоянии покоя, то должны выполняться два условия равновесия:
1. Векторная сумма всех действующих на тело сил равна нулю.
2. Сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю.

Обозначим угол наклона плоскости к горизонту как $\alpha$. Для нахождения силы натяжения веревки $\vec{T}$ воспользуемся правилом моментов. Удобнее всего выбрать точку O (точка касания цилиндра с наклонной плоскостью) в качестве оси вращения. В этом случае моменты сил $\vec{N}$ и $\vec{f}_{тр}$ равны нулю, так как их плечи равны нулю.

Условие равновесия моментов относительно точки O: $\sum M_O = 0$.
$M(\vec{T}) + M(m\vec{g}) = 0$

Момент силы тяжести $m\vec{g}$ стремится вращать цилиндр по часовой стрелке. Плечо силы $m\vec{g}$ равно $R \sin\alpha$, где $R$ - радиус цилиндра. Тогда $M(m\vec{g}) = -mgR\sin\alpha$.
Момент силы натяжения $\vec{T}$ стремится вращать цилиндр против часовой стрелки. Сила $\vec{T}$ приложена к верхней точке цилиндра. Ее плечо относительно точки O равно $R + R\cos\alpha$. Тогда $M(\vec{T}) = T \cdot R(1+\cos\alpha)$.

Запишем уравнение моментов:
$T \cdot R(1+\cos\alpha) - mgR\sin\alpha = 0$
$T(1+\cos\alpha) = mg\sin\alpha$
$T = mg \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$

Используя тригонометрические формулы $ \sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) $ и $ 1+\cos\alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) $, преобразуем выражение для $T$:
$T = mg \frac{2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = mg \tan(\frac{\alpha}{2})$

Теперь запишем первое условие равновесия (равенство сил) в проекциях на ось OY, направленную перпендикулярно наклонной плоскости.
$\sum F_y = 0: \quad N - mg\cos\alpha - T\sin\alpha = 0$

Отсюда выразим искомую силу нормального давления $N$:
$N = mg\cos\alpha + T\sin\alpha$

Подставим в это уравнение найденное выражение для $T$:
$N = mg\cos\alpha + (mg\tan(\frac{\alpha}{2}))\sin\alpha$
$N = mg(\cos\alpha + \tan(\frac{\alpha}{2})\sin\alpha)$

Снова воспользуемся тригонометрическими формулами $ \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} $ и $ \sin\alpha = 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2}) $:
$N = mg\left(\cos\alpha + \frac{\sin(\alpha/2)}{\cos(\alpha/2)} \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})\right)$
$N = mg(\cos\alpha + 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}))$

Применим формулу $ 1 - \cos\alpha = 2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) $:
$N = mg(\cos\alpha + (1-\cos\alpha))$
$N = mg(\cos\alpha + 1 - \cos\alpha)$
$N = mg$

Как видно из результата, сила нормального давления не зависит от угла наклона плоскости. Вычислим ее значение:
$N = 10 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 100 \text{ Н}$

Ответ: 100 Н.