Номер 18, страница 433 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 18, страница 433.

Условие.

18. Определите положение центра тяжести однородного диска радиусом R, из которого вырезано отверстие радиусом $r < \frac{R}{2}$ (рис. 8.42). Центр выреза находится на расстоянии $\frac{R}{2}$ от центра диска.

Рис. 8.42

Решение.

Дано:

Радиус однородного диска: $R$
Радиус вырезанного отверстия: $r$, причем $r < \frac{R}{2}$
Расстояние от центра диска до центра выреза: $d = \frac{R}{2}$

Найти:

Положение центра тяжести $x_c$ диска с вырезом.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся методом отрицательных масс. Диск с вырезом можно представить как сплошной диск, из которого удалили (то есть добавили с отрицательной массой) меньший диск.

Пусть $\sigma$ – поверхностная плотность материала диска (масса единицы площади). Так как диск однородный, $\sigma$ является постоянной величиной.

Выберем систему координат. Поместим начало координат в центр сплошного диска (точка $O$). Ось $Ox$ направим через центр вырезанного отверстия (точка $O_1$). Тогда координаты центров будут:

• Центр сплошного диска: $x_1 = 0$
• Центр вырезанного отверстия: $x_2 = \frac{R}{2}$

Масса сплошного диска радиусом $R$ равна $m_1 = \sigma S_1 = \sigma \pi R^2$.

Масса вырезанной части (которую мы рассматриваем как отрицательную) радиусом $r$ равна $m_2 = -\sigma S_2 = -\sigma \pi r^2$.

Координата центра тяжести $x_c$ системы определяется по формуле:

$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$

Подставим наши значения:

$x_c = \frac{(\sigma \pi R^2) \cdot 0 + (-\sigma \pi r^2) \cdot \frac{R}{2}}{\sigma \pi R^2 - \sigma \pi r^2}$

Сократим $\sigma \pi$ в числителе и знаменателе:

$x_c = \frac{-r^2 \cdot \frac{R}{2}}{R^2 - r^2} = -\frac{r^2 R}{2(R^2 - r^2)}$

Знак «минус» указывает на то, что центр тяжести сместился от центра исходного диска в сторону, противоположную вырезу. Расстояние от центра исходного диска до нового центра тяжести равно модулю $x_c$.

Ответ: Центр тяжести находится на линии, соединяющей центр диска и центр отверстия, на расстоянии $\frac{r^2 R}{2(R^2 - r^2)}$ от центра исходного диска в сторону, противоположную вырезу.