Номер 15, страница 433 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 8. Статика. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Упражнение 15 - номер 15, страница 433.

Условие.

15. Кубик массой $\text{m}$ с длиной ребра $\text{l}$ движется равномерно по горизонтальной плоскости. Сила $\vec{F}$ приложена к ребру кубика в точке $\text{A}$. Коэффициент трения между кубиком и плоскостью равен $\mu$. Под каким углом $\alpha$ к горизонту (рис. 8.40) должна действовать сила $\vec{F}$, чтобы её модуль был минимальным? Найдите минимальное значение модуля силы $\vec{F}$.

Рис. 8.40

Решение.

Дано:

Масса кубика: $m$

Длина ребра кубика: $l$

Коэффициент трения: $\mu$

Движение равномерное, $v = \text{const}$

Найти:

1. Угол $\alpha$, при котором $F$ минимальна.

2. Минимальное значение модуля силы $F_{\text{min}}$.

Решение:

Поскольку кубик движется равномерно, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на кубик, равна нулю.

На кубик действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх; сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная горизонтально против движения; и приложенная сила $\vec{F}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.

Введем систему координат: ось Ox направим горизонтально в сторону движения, а ось Oy — вертикально вверх. Запишем уравнения первого закона Ньютона в проекциях на эти оси:

Проекция на ось Ox: $F \cos\alpha - F_{\text{тр}} = 0$

Проекция на ось Oy: $N + F \sin\alpha - mg = 0$

Сила трения скольжения определяется формулой $F_{\text{тр}} = \mu N$.

Из уравнения для оси Oy выразим силу реакции опоры $N$:

$N = mg - F \sin\alpha$

Подставим это выражение для $N$ и формулу для силы трения в уравнение для оси Ox:

$F \cos\alpha - \mu (mg - F \sin\alpha) = 0$

Раскроем скобки и выразим модуль силы $F$ как функцию угла $\alpha$:

$F \cos\alpha - \mu mg + \mu F \sin\alpha = 0$

$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$

$F(\alpha) = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$

Длина ребра кубика $l$ не входит в эти уравнения, так как мы рассматриваем условие скольжения, а не опрокидывания.

Под каким углом α к горизонту (рис. 8.40) должна действовать сила F, чтобы её модуль был минимальным?

Модуль силы $F$ будет минимальным, когда знаменатель дроби $D(\alpha) = \cos\alpha + \mu \sin\alpha$ будет максимальным. Для нахождения максимума этой функции найдем ее производную по углу $\alpha$ и приравняем к нулю.

$\frac{dD}{d\alpha} = (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)' = -\sin\alpha + \mu \cos\alpha$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремум:

$-\sin\alpha + \mu \cos\alpha = 0$

$\mu \cos\alpha = \sin\alpha$

Разделив обе части на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$), получаем:

$\mu = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$

Следовательно, сила будет минимальной при угле $\alpha$, тангенс которого равен коэффициенту трения.

Ответ: Сила $F$ будет минимальной, если она направлена под углом $\alpha = \arctan\mu$ к горизонту.

Найдите минимальное значение модуля силы F.

Чтобы найти минимальное значение силы $F_{\text{min}}$, подставим найденное условие $\tan\alpha = \mu$ в выражение для $F(\alpha)$. Для этого выразим $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ через $\tan\alpha = \mu$.

Из основного тригонометрического тождества $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ находим:

$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{1}{1 + \mu^2} \implies \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ (угол $\alpha$ острый).

Тогда $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = \mu \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}} = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}$.

Теперь подставим эти выражения для синуса и косинуса в исходную формулу для $F$:

$F_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}} + \mu \cdot \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\frac{1 + \mu^2}{\sqrt{1 + \mu^2}}}$

Упрощая выражение, получаем:

$F_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$

Ответ: Минимальное значение модуля силы $F$ равно $F_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$.