Номер 15, страница 433 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Авторы: Мякишев Г. Я., Синяков А. З.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: белый колесо обозрения, статор и ротор изображены
ISBN: 978-5-09-087885-2
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 15, страница 433.
№15 (с. 433)
Условие. №15 (с. 433)
скриншот условия


15. Кубик массой $\text{m}$ с длиной ребра $\text{l}$ движется равномерно по горизонтальной плоскости. Сила $\vec{F}$ приложена к ребру кубика в точке $\text{A}$. Коэффициент трения между кубиком и плоскостью равен $\mu$. Под каким углом $\alpha$ к горизонту (рис. 8.40) должна действовать сила $\vec{F}$, чтобы её модуль был минимальным? Найдите минимальное значение модуля силы $\vec{F}$.
Рис. 8.40
Решение. №15 (с. 433)
Дано:
Масса кубика: $m$
Длина ребра кубика: $l$
Коэффициент трения: $\mu$
Движение равномерное, $v = \text{const}$
Найти:
1. Угол $\alpha$, при котором $F$ минимальна.
2. Минимальное значение модуля силы $F_{\text{min}}$.
Решение:
Поскольку кубик движется равномерно, его ускорение равно нулю. Согласно первому закону Ньютона, векторная сумма всех сил, действующих на кубик, равна нулю.
На кубик действуют четыре силы: сила тяжести $m\vec{g}$, направленная вертикально вниз; сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх; сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$, направленная горизонтально против движения; и приложенная сила $\vec{F}$, направленная под углом $\alpha$ к горизонту.
Введем систему координат: ось Ox направим горизонтально в сторону движения, а ось Oy — вертикально вверх. Запишем уравнения первого закона Ньютона в проекциях на эти оси:
Проекция на ось Ox: $F \cos\alpha - F_{\text{тр}} = 0$
Проекция на ось Oy: $N + F \sin\alpha - mg = 0$
Сила трения скольжения определяется формулой $F_{\text{тр}} = \mu N$.
Из уравнения для оси Oy выразим силу реакции опоры $N$:
$N = mg - F \sin\alpha$
Подставим это выражение для $N$ и формулу для силы трения в уравнение для оси Ox:
$F \cos\alpha - \mu (mg - F \sin\alpha) = 0$
Раскроем скобки и выразим модуль силы $F$ как функцию угла $\alpha$:
$F \cos\alpha - \mu mg + \mu F \sin\alpha = 0$
$F (\cos\alpha + \mu \sin\alpha) = \mu mg$
$F(\alpha) = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu \sin\alpha}$
Длина ребра кубика $l$ не входит в эти уравнения, так как мы рассматриваем условие скольжения, а не опрокидывания.
Под каким углом α к горизонту (рис. 8.40) должна действовать сила F, чтобы её модуль был минимальным?
Модуль силы $F$ будет минимальным, когда знаменатель дроби $D(\alpha) = \cos\alpha + \mu \sin\alpha$ будет максимальным. Для нахождения максимума этой функции найдем ее производную по углу $\alpha$ и приравняем к нулю.
$\frac{dD}{d\alpha} = (\cos\alpha + \mu \sin\alpha)' = -\sin\alpha + \mu \cos\alpha$
Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремум:
$-\sin\alpha + \mu \cos\alpha = 0$
$\mu \cos\alpha = \sin\alpha$
Разделив обе части на $\cos\alpha$ (при условии, что $\cos\alpha \neq 0$), получаем:
$\mu = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha$
Следовательно, сила будет минимальной при угле $\alpha$, тангенс которого равен коэффициенту трения.
Ответ: Сила $F$ будет минимальной, если она направлена под углом $\alpha = \arctan\mu$ к горизонту.
Найдите минимальное значение модуля силы F.
Чтобы найти минимальное значение силы $F_{\text{min}}$, подставим найденное условие $\tan\alpha = \mu$ в выражение для $F(\alpha)$. Для этого выразим $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$ через $\tan\alpha = \mu$.
Из основного тригонометрического тождества $1 + \tan^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$ находим:
$\cos^2\alpha = \frac{1}{1 + \tan^2\alpha} = \frac{1}{1 + \mu^2} \implies \cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}}$ (угол $\alpha$ острый).
Тогда $\sin\alpha = \tan\alpha \cdot \cos\alpha = \mu \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}} = \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}$.
Теперь подставим эти выражения для синуса и косинуса в исходную формулу для $F$:
$F_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{\sqrt{1 + \mu^2}} + \mu \cdot \frac{\mu}{\sqrt{1 + \mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\frac{1 + \mu^2}{\sqrt{1 + \mu^2}}}$
Упрощая выражение, получаем:
$F_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$
Ответ: Минимальное значение модуля силы $F$ равно $F_{\text{min}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1 + \mu^2}}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10 класс, для упражнения номер 15 расположенного на странице 433 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №15 (с. 433), авторов: Мякишев (Генадий Яковлевич), Синяков (Арон Залманович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.