Номер 12, страница 432 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 12, страница 432.

Условие.

12. Доска длиной $L = 3$ м и массой $m_1 = 20$ кг опирается на уступ таким образом, что она составляет с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$. Расстояние от свободного конца доски до уступа $l = 1$ м (рис. 8.37). Плоский диск толкнули вверх по доске со скоростью $\vec{v_0}$. При каком минимальном значении скорости $v_0$ нижний конец доски оторвётся от пола? Масса диска $m_2 = 10$ кг. Трение между доской и диском не учитывать.

Рис. 8.37

Решение.

Дано

Длина доски $L = 3$ м
Масса доски $m_1 = 20$ кг
Угол наклона $\alpha = 30^\circ$
Расстояние от свободного (верхнего) конца до уступа $l = 1$ м
Масса диска $m_2 = 10$ кг
Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с$^2$

Найти:

Минимальную начальную скорость диска $v_0$.

Решение

Нижний конец доски оторвётся от пола, когда сила нормальной реакции опоры со стороны пола $N_{оп}$ станет равной нулю. В этот момент доска начнёт вращаться вокруг уступа, который будет служить осью вращения. Для нахождения условия отрыва запишем уравнение моментов сил, действующих на доску, относительно оси вращения, проходящей через уступ.

На доску действуют: сила тяжести доски $m_1 \vec{g}$, сила нормальной реакции опоры со стороны пола $\vec{N}_{оп}$ и сила давления диска на доску $\vec{N}_{диск}$.

Будем считать моменты сил, вращающие доску против часовой стрелки, положительными.

1. Момент силы тяжести доски ($\tau_1$). Сила $m_1 g$ приложена к центру масс доски, который находится на расстоянии $L/2$ от верхнего конца. Уступ находится на расстоянии $l$ от верхнего конца. Поскольку $L/2 = 1.5$ м, а $l=1$ м, центр масс находится ниже уступа на расстоянии $d_1 = L/2 - l$. Эта сила создаёт вращающий момент по часовой стрелке (отрицательный).
$\tau_1 = - (m_1 g \cos(\alpha)) \cdot (L/2 - l)$

2. Момент силы давления диска ($\tau_2$). Сила давления диска на доску $N_{диск}$ по модулю равна силе нормальной реакции доски $N_{доски}$, действующей на диск. Из второго закона Ньютона для диска в проекции на ось, перпендикулярную доске, следует, что $N_{диск} = m_2 g \cos(\alpha)$ (поскольку движение происходит вдоль доски). Пусть $x$ — расстояние диска от нижнего конца доски. Положение уступа от нижнего конца - $L-l$.
- Если диск находится ниже уступа ($x < L-l$), он создаёт момент по часовой стрелке: $\tau_2 = -N_{диск} (L-l-x) = -m_2 g \cos(\alpha) (L-l-x)$.
- Если диск находится выше уступа ($x > L-l$), он создаёт момент против часовой стрелки: $\tau_2 = N_{диск} (x - (L-l)) = m_2 g \cos(\alpha) (x - (L-l))$.

3. Момент силы реакции опоры пола ($\tau_{оп}$). Сила $\vec{N}_{оп}$ приложена к нижнему концу доски на расстоянии $L-l$ от уступа. Она создаёт вращающий момент против часовой стрелки (положительный).
$\tau_{оп} = (N_{оп} \cos(\alpha)) \cdot (L-l)$

Условие равновесия доски: $\tau_1 + \tau_2 + \tau_{оп} = 0$.
Если диск ниже уступа ($x < L-l$):
$N_{оп} (L-l) \cos(\alpha) - m_1 g (L/2-l) \cos(\alpha) - m_2 g (L-l-x) \cos(\alpha) = 0$
$N_{оп} (L-l) = g (m_1(L/2-l) + m_2(L-l-x))$
Правая часть всегда положительна, значит $N_{оп} > 0$. Отрыв в этом случае невозможен.

Если диск выше уступа ($x > L-l$):
$N_{оп} (L-l) \cos(\alpha) - m_1 g (L/2-l) \cos(\alpha) + m_2 g (x - (L-l)) \cos(\alpha) = 0$
$N_{оп} (L-l) = g(m_1(L/2-l) - m_2(x - (L-l)))$

Отрыв доски от пола произойдет при $N_{оп} \le 0$. Условие начала отрыва $N_{оп} = 0$:
$m_1(L/2-l) - m_2(x - (L-l)) = 0$
$m_1(L/2-l) = m_2(x - (L-l))$
Вращающий момент, создаваемый диском, максимален, когда диск находится на самом верху доски ($x=L$). Проверим, выполняется ли условие отрыва в этой точке:
$m_2(L - (L-l)) \ge m_1(L/2-l)$
$m_2 l \ge m_1(L/2-l)$
Подставим числовые значения:
$10 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м} \ge 20 \text{ кг} \cdot (1.5 \text{ м} - 1 \text{ м})$
$10 \ge 20 \cdot 0.5$
$10 \ge 10$
Равенство выполняется. Это означает, что доска оторвется от пола точно в тот момент, когда диск достигнет её верхнего конца.

Следовательно, минимальная начальная скорость $v_0$ должна быть такой, чтобы диск смог проехать по доске расстояние $S=L$.

Движение диска по наклонной плоскости является равнозамедленным с ускорением $a = -g \sin(\alpha)$ (ось направлена вверх по доске). Воспользуемся формулой кинематики: $v_k^2 - v_0^2 = 2 a S$.
Минимальная начальная скорость соответствует случаю, когда конечная скорость диска на верхнем конце доски равна нулю ($v_k = 0$).
$0 - v_0^2 = 2(-g \sin(\alpha))L$
$v_0^2 = 2 g L \sin(\alpha)$
$v_0 = \sqrt{2 g L \sin(\alpha)}$

Выполним расчет:
$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 3 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ)} = \sqrt{2 \cdot 9.8 \cdot 3 \cdot 0.5} = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \text{ м/с}$

Ответ: минимальное значение скорости $v_0$, при котором нижний конец доски оторвётся от пола, составляет приблизительно $5.42$ м/с.