Номер 5, страница 431 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 5, страница 431.

Условие.

5. Однородная палка массой $\text{m}$ опирается о гладкую стену и гладкий пол. Чтобы палка не упала, её удерживают горизонтально расположенной нитью. Один конец нити привязан к нижнему концу палки, а другой закреплён в углу между стеной и полом. Палка образует с полом угол $\alpha$. Найдите силы реакции стены $\vec{N_1}$, пола $\vec{N_2}$, а также натяжение нити $\vec{T}$.

Решение.

Дано:

масса палки: $m$

угол наклона палки к полу: $\alpha$

ускорение свободного падения: $g$

Найти:

силу реакции стены: $N_1$

силу реакции пола: $N_2$

силу натяжения нити: $T$

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на однородную палку. Так как палка находится в равновесии, на нее действуют следующие силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, приложенная к центру масс палки (в ее середине, так как палка однородная) и направленная вертикально вниз.

2. Сила реакции гладкой стены $\vec{N_1}$, направленная перпендикулярно стене, то есть горизонтально.

3. Сила реакции гладкого пола $\vec{N_2}$, направленная перпендикулярно полу, то есть вертикально вверх.

4. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная горизонтально в сторону стены.

Для того чтобы тело находилось в равновесии, должны выполняться два условия:

1. Векторная сумма всех сил, действующих на тело, равна нулю (первое условие равновесия).

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки равна нулю (второе условие равновесия).

Введем систему координат: ось $Ox$ направим горизонтально вправо, ось $Oy$ — вертикально вверх. Начало координат поместим в точку касания палки с полом.

Запишем первое условие равновесия в проекциях на оси координат:

Проекция на ось $Ox$: $N_1 - T = 0$

Проекция на ось $Oy$: $N_2 - mg = 0$

Из этих уравнений получаем:

$T = N_1$

$N_2 = mg$

Для нахождения $N_1$ и $T$ воспользуемся вторым условием равновесия. Запишем уравнение моментов сил относительно точки опоры палки о пол (назовем ее точкой А). Моменты сил $\vec{N_2}$ и $\vec{T}$ относительно этой точки равны нулю, так как линии действия этих сил проходят через точку А.

Пусть длина палки равна $L$.

Момент силы тяжести $m\vec{g}$ вращает палку по часовой стрелке (считаем его отрицательным). Плечо этой силы равно горизонтальному расстоянию от точки А до центра палки: $d_g = \frac{L}{2} \cos\alpha$.

Момент силы тяжести: $M_g = -mg \cdot d_g = -mg \frac{L}{2} \cos\alpha$.

Момент силы реакции стены $\vec{N_1}$ вращает палку против часовой стрелки (считаем его положительным). Плечо этой силы равно вертикальному расстоянию от точки А до точки касания палки со стеной: $d_{N1} = L \sin\alpha$.

Момент силы реакции стены: $M_{N1} = N_1 \cdot d_{N1} = N_1 L \sin\alpha$.

Сумма моментов сил относительно точки А равна нулю:

$\sum M_A = M_{N1} + M_g = 0$

$N_1 L \sin\alpha - mg \frac{L}{2} \cos\alpha = 0$

Сократим на $L$:

$N_1 \sin\alpha = \frac{mg}{2} \cos\alpha$

Отсюда выразим $N_1$:

$N_1 = \frac{mg \cos\alpha}{2 \sin\alpha} = \frac{1}{2} mg \cot\alpha$

Так как $T = N_1$, то сила натяжения нити также равна:

$T = \frac{1}{2} mg \cot\alpha$

Таким образом, мы нашли все искомые силы.

Ответ: Сила реакции стены $N_1 = \frac{1}{2} mg \cot\alpha$, сила реакции пола $N_2 = mg$, сила натяжения нити $T = \frac{1}{2} mg \cot\alpha$.