Номер 6, страница 431 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 15. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Глава 8. Статика. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 6, страница 431.

Условие.

6. Каким должен быть коэффициент трения однородного стержня о пол, чтобы он был в равновесии в положении, показанном на рисунке 8.33? Стержень удерживается нитью, длина которой равна длине стержня. Угол между нитью и стержнем прямой. Точки А и С расположены на одной вертикали.

Рис. 8.33

Решение.

Дано

Стержень AB и нить CB.

Длина стержня: $L_{AB} = L$

Длина нити: $L_{CB} = L$

Угол между стержнем и нитью: $\angle ABC = 90^\circ$

Стержень однородный.

Точки A и C находятся на одной вертикали.

Найти:

Коэффициент трения $\mu$.

Решение

1. Геометрический анализ системы.

Рассмотрим треугольник ABC. По условию, длина стержня $AB$ равна длине нити $CB$, то есть $AB = CB = L$. Следовательно, треугольник ABC является равнобедренным. Также по условию, угол $\angle ABC = 90^\circ$, значит, треугольник ABC — равнобедренный прямоугольный треугольник.

Углы при основании такого треугольника равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

Угол $\angle BAC$ — это и есть угол наклона стержня к горизонтальной поверхности. Обозначим его $\alpha$. Таким образом, $\alpha = 45^\circ$.

2. Анализ сил и условия равновесия.

На стержень действуют следующие силы:

• Сила тяжести $m\vec{g}$, приложенная к центру масс стержня (т.к. стержень однородный, это его середина) и направленная вертикально вниз.
• Сила реакции опоры $\vec{N}$, направленная вертикально вверх из точки A.
• Сила трения покоя $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально вдоль пола в точке А. Она препятствует проскальзыванию стержня, поэтому направлена вправо.
• Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная от точки B к точке C.

Для равновесия стержня необходимо, чтобы сумма всех сил и сумма моментов всех сил относительно любой точки были равны нулю.

Запишем уравнения равновесия моментов относительно точки А. Это удобно, так как моменты сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$ относительно этой точки равны нулю.

$\sum M_A = 0$

Момент силы тяжести $m\vec{g}$ вращает стержень по часовой стрелке (отрицательный момент). Плечо этой силы равно горизонтальному расстоянию от точки А до середины стержня: $d_g = \frac{L}{2} \cos\alpha$.

$M_g = -mg \cdot \frac{L}{2} \cos\alpha$

Момент силы натяжения нити $\vec{T}$ вращает стержень против часовой стрелки (положительный момент). Поскольку угол между стержнем (вектором $\vec{AB}$) и нитью (вектором $\vec{BC}$) прямой, плечо силы $\vec{T}$ относительно точки А равно длине стержня $L$.

$M_T = T \cdot L$

Уравнение моментов:

$T \cdot L - mg \frac{L}{2} \cos\alpha = 0$

Подставим $\alpha = 45^\circ$:

$T \cdot L = mg \frac{L}{2} \cos(45^\circ) = mg \frac{L}{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

$T = \frac{mg\sqrt{2}}{4}$

3. Уравнения равновесия сил.

Введем систему координат: ось Ox — горизонтально вправо, ось Oy — вертикально вверх. Запишем уравнения равновесия проекций сил:

$\sum F_x = 0$

$\sum F_y = 0$

Направление силы натяжения $\vec{T}$ перпендикулярно стержню, который наклонен под углом $45^\circ$. Следовательно, вектор $\vec{T}$ направлен под углом $45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$ к горизонтали.

Проекция на ось Ox:

$F_{тр} + T \cos(135^\circ) = 0$

$F_{тр} + T (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 0 \implies F_{тр} = T \frac{\sqrt{2}}{2}$

Проекция на ось Oy:

$N + T \sin(135^\circ) - mg = 0$

$N + T \frac{\sqrt{2}}{2} - mg = 0 \implies N = mg - T \frac{\sqrt{2}}{2}$

4. Вычисление коэффициента трения.

Подставим найденное значение $T = \frac{mg\sqrt{2}}{4}$ в выражения для $F_{тр}$ и $N$:

$F_{тр} = \left(\frac{mg\sqrt{2}}{4}\right) \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{mg \cdot 2}{8} = \frac{mg}{4}$

$N = mg - \left(\frac{mg\sqrt{2}}{4}\right) \frac{\sqrt{2}}{2} = mg - \frac{mg \cdot 2}{8} = mg - \frac{mg}{4} = \frac{3mg}{4}$

Условие нахождения стержня в равновесии (на грани скольжения) записывается как $F_{тр} = \mu N$. Отсюда находим минимальный необходимый коэффициент трения:

$\mu = \frac{F_{тр}}{N} = \frac{\frac{mg}{4}}{\frac{3mg}{4}} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\mu = \frac{1}{3}$