Номер 1, страница 430 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 8. Статика. Параграф 8.5. Примеры решения задач. Упражнение 15 - номер 1, страница 430.

Условие.

Упражнение 15

1. Через три отверстия в доске пропущены нити, связанные на одном конце общим узлом (рис. 8.31). К другим концам нитей подвешены одинаковые грузы. Найдите углы между нитями при расхождении их от узла, если система находится в равновесии. Трением пренебречь.

Рис. 8.31

Решение.

1. Дано:
Три нити, связанные в один узел.
К свободным концам нитей подвешены одинаковые грузы.
Система находится в равновесии.
Трение пренебрежимо мало.

Найти:
Углы между нитями $\alpha$.

Решение:

Так как к нитям подвешены одинаковые грузы, то силы натяжения каждой нити равны по модулю. Обозначим эту силу как $T$.
$|\vec{T_1}| = |\vec{T_2}| = |\vec{T_3}| = T$
Узел, в котором связаны нити, находится в состоянии равновесия. Согласно первому закону Ньютона, условием равновесия является равенство нулю векторной суммы всех сил, действующих на узел:
$\vec{T_1} + \vec{T_2} + \vec{T_3} = \vec{0}$

Это означает, что три вектора сил натяжения $\vec{T_1}$, $\vec{T_2}$ и $\vec{T_3}$ образуют замкнутый треугольник, если их построить последовательно (по правилу сложения векторов). Поскольку модули векторов (длины сторон треугольника) равны, этот треугольник является равносторонним. Внутренние углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$.

Однако, нам нужно найти углы между нитями, то есть углы между векторами сил, исходящими из одной точки (узла).
Рассмотрим условие равновесия в другом виде: $\vec{T_1} + \vec{T_2} = -\vec{T_3}$.
Это значит, что векторная сумма двух сил $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$ уравновешивает третью силу $\vec{T_3}$. Модуль результирующего вектора $|\vec{T_1} + \vec{T_2}|$ равен модулю вектора $|-\vec{T_3}|$, то есть $T$.

По теореме косинусов для сложения векторов, квадрат модуля суммы двух векторов равен:
$|\vec{T_1} + \vec{T_2}|^2 = |\vec{T_1}|^2 + |\vec{T_2}|^2 + 2|\vec{T_1}||\vec{T_2}|\cos\alpha$
где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$.
Подставим известные значения модулей:
$T^2 = T^2 + T^2 + 2 \cdot T \cdot T \cdot \cos\alpha$
$T^2 = 2T^2 + 2T^2\cos\alpha$
$T^2 - 2T^2 = 2T^2\cos\alpha$
$-T^2 = 2T^2\cos\alpha$
$\cos\alpha = -\frac{T^2}{2T^2} = -\frac{1}{2}$
Отсюда находим угол:
$\alpha = \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ$

Из-за симметрии задачи, углы между любыми другими парами нитей будут такими же.

Ответ: углы между нитями равны $120^\circ$.