Номер 5, страница 405 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 14. Параграф 7.10. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 5, страница 405.

Условие.

5. Через блок массой $m = 10$ г перекинута нить, к концам которой привязаны грузы массами $m_1 = 10$ г и $m_2 = 15$ г. С каким ускорением движутся грузы? Блок считать сплошным диском.

Решение.

Дано:

$m = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

$m_1 = 10 \text{ г} = 0.01 \text{ кг}$

$m_2 = 15 \text{ г} = 0.015 \text{ кг}$

$g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$

Найти:

$a$ - ?

Решение:

На систему действуют силы тяжести грузов $m_1g$ и $m_2g$. Поскольку $m_2 > m_1$, груз массой $m_2$ будет опускаться, а груз массой $m_1$ — подниматься. Оба груза движутся с одинаковым по модулю ускорением $a$. Нить действует на грузы с силами натяжения $T_1$ и $T_2$. Так как блок имеет массу и приходит во вращение, силы натяжения нити с разных сторон от него не равны ($T_1 \ne T_2$).

Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов. Выберем направление движения как положительное (вверх для $m_1$ и вниз для $m_2$):

Для груза $m_1$: $T_1 - m_1g = m_1a$ (1)

Для груза $m_2$: $m_2g - T_2 = m_2a$ (2)

Для вращения блока запишем основной закон динамики вращательного движения: $M_{net} = I\epsilon$, где $M_{net}$ — результирующий момент сил, $I$ — момент инерции блока, $\epsilon$ — его угловое ускорение.

Результирующий момент сил создается разностью сил натяжения: $M_{net} = (T_2 - T_1)R$, где $R$ — радиус блока.

Блок является сплошным диском, его момент инерции $I = \frac{mR^2}{2}$.

Угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением $\epsilon = \frac{a}{R}$ (при условии, что нить не проскальзывает).

Подставляя эти выражения в уравнение для вращения, получаем:

$(T_2 - T_1)R = \left(\frac{mR^2}{2}\right) \frac{a}{R}$

Сокращая $R$ с обеих сторон, имеем: $T_2 - T_1 = \frac{ma}{2}$ (3)

Теперь решим систему из трех уравнений. Выразим $T_1$ и $T_2$ из уравнений (1) и (2):

$T_1 = m_1g + m_1a$

$T_2 = m_2g - m_2a$

Подставим полученные выражения для $T_1$ и $T_2$ в уравнение (3):

$(m_2g - m_2a) - (m_1g + m_1a) = \frac{ma}{2}$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые, чтобы выразить ускорение $a$:

$m_2g - m_1g = m_1a + m_2a + \frac{ma}{2}$

$(m_2 - m_1)g = a\left(m_1 + m_2 + \frac{m}{2}\right)$

Из этого уравнения находим итоговую формулу для ускорения:

$a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2 + \frac{m}{2}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$a = \frac{(0.015 - 0.01) \cdot 9.8}{0.01 + 0.015 + \frac{0.01}{2}} = \frac{0.005 \cdot 9.8}{0.025 + 0.005} = \frac{0.049}{0.03}$

$a \approx 1.63 \text{ м/с}^2$

Ответ: ускорение грузов равно примерно $1.63 \text{ м/с}^2$.