Номер 12, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 13. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 12, страница 388.

Условие.

12. Две взаимодействующие между собой частицы образуют замкнутую систему, центр масс которой покоится. На рисунке 7.29 показаны положения обеих частиц в некоторый момент времени и траектория частицы массой $m_1$. Постройте траекторию частицы массой $m_2$, если

$m_2 = \frac{1}{2}m_1$.

Рис. 7.29

Решение.

Дано:

Система из двух частиц $m_1$ и $m_2$ является замкнутой.

Центр масс системы покоится.

Соотношение масс: $m_2 = \frac{1}{2}m_1$.

Найти:

Построить траекторию частицы массой $m_2$.

Решение:

Радиус-вектор центра масс $\vec{r}_c$ системы из двух частиц определяется формулой:

$\vec{r}_c = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$

Поскольку система замкнута и ее центр масс покоится, его положение в пространстве не изменяется со временем, то есть $\vec{r}_c = \text{const}$.

Для удобства выберем начало отсчета в центре масс системы, тогда $\vec{r}_c = 0$. В этом случае для любого момента времени справедливо соотношение:

$m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2 = 0$

Отсюда можно выразить радиус-вектор второй частицы через радиус-вектор первой:

$\vec{r}_2 = -\frac{m_1}{m_2}\vec{r}_1$

Из условия задачи известно, что $m_2 = \frac{1}{2}m_1$, или $\frac{m_1}{m_2} = 2$. Подставим это соотношение в формулу:

$\vec{r}_2 = -2\vec{r}_1$

Это векторное равенство означает, что в любой момент времени:

1. Частицы $m_1$ и $m_2$ и центр масс системы лежат на одной прямой.
2. Частицы находятся по разные стороны от центра масс (на это указывает знак "минус").
3. Расстояние от центра масс до частицы $m_2$ в два раза больше расстояния от центра масс до частицы $m_1$ ( $|\vec{r}_2| = 2|\vec{r}_1|$ ).

Таким образом, для построения траектории частицы $m_2$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти положение центра масс (точку C) в момент времени, показанный на рисунке. Для этого нужно соединить точки $m_1$ и $m_2$ отрезком и разделить его в отношении, обратном отношению масс. Так как $\frac{m_1}{m_2} = 2$, то центр масс будет делить отрезок в отношении $1:2$, если считать от частицы $m_1$. Иначе говоря, расстояние от $C$ до $m_1$ вдвое меньше, чем от $C$ до $m_2$.
2. Так как центр масс покоится, его положение C остается неизменным в течение всего времени движения.
3. Выбрать несколько произвольных точек на известной траектории частицы $m_1$.
4. Для каждой выбранной точки (например, $P_1$) на траектории $m_1$ провести прямую, проходящую через эту точку и центр масс C.
5. На продолжении этой прямой за центром масс отложить точку (например, $P_2$) так, чтобы расстояние от нее до центра масс было в два раза больше расстояния от точки $P_1$ до центра масс ($|CP_2| = 2|CP_1|$).
6. Соединив все полученные таким образом точки $P_2$ плавной линией, мы получим искомую траекторию частицы $m_2$.

Ответ: Траектория частицы $m_2$ является кривой, подобной траектории частицы $m_1$, но увеличенной в 2 раза и симметричной ей относительно неподвижного центра масс системы.