Номер 11, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 13. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 11, страница 388.

Условие.

11. Внутри сферы массой $\text{M}$ и радиусом $\text{R}$ находится небольшой шарик массой $\text{m}$. При отсутствии внешних сил шарик движется по экватору внутренней оболочки сферы. Период его обращения равен $\text{T}$. Найдите силу давления шарика на поверхность сферы.

Решение.

Дано:

Масса сферы: $M$

Масса шарика: $m$

Радиус сферы: $R$

Период обращения шарика: $T$

Найти:

Силу давления шарика на сферу: $P$

Решение:

Так как на систему, состоящую из сферы и шарика, не действуют внешние силы, ее центр масс покоится или движется равномерно и прямолинейно. Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с центром масс системы. В этой системе отсчета и сфера, и шарик движутся по окружностям вокруг общего неподвижного центра масс с одинаковым периодом $T$ и одинаковой угловой скоростью $\omega$.

Угловая скорость вращения определяется как:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Пусть $r_m$ — радиус окружности, по которой движется шарик, а $r_M$ — радиус окружности, по которой движется центр сферы. Расстояние между центром сферы и шариком постоянно и равно $R$. Следовательно:

$r_m + r_M = R$

Из определения положения центра масс для системы двух тел, который мы поместили в начало координат, следует:

$m \cdot r_m = M \cdot r_M$

Получаем систему из двух уравнений. Выразим $r_M$ из второго уравнения $r_M = \frac{m}{M} r_m$ и подставим в первое:

$r_m + \frac{m}{M} r_m = R$

$r_m \left(1 + \frac{m}{M}\right) = R$

$r_m \frac{M+m}{M} = R$

Отсюда находим радиус траектории шарика:

$r_m = \frac{M R}{M+m}$

Рассмотрим силы, действующие на шарик. Согласно первой теореме Ньютона для сферических оболочек, гравитационная сила, действующая на материальную точку внутри однородной сферической оболочки, равна нулю. Таким образом, единственной силой, действующей на шарик, является сила нормальной реакции $N$ со стороны внутренней поверхности сферы. Эта сила направлена к центру масс и сообщает шарику центростремительное ускорение.

По второму закону Ньютона:

$N = m a_m$

где $a_m$ — центростремительное ускорение шарика, равное $a_m = \omega^2 r_m$.

Подставим известные выражения для $\omega$ и $r_m$:

$N = m \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \left(\frac{M R}{M+m}\right)$

$N = \frac{4\pi^2 m M R}{T^2 (M+m)}$

По третьему закону Ньютона, сила давления $P$, с которой шарик действует на сферу, равна по модулю силе нормальной реакции $N$, с которой сфера действует на шарик.

$P = N$

Ответ: $P = \frac{4\pi^2 m M R}{T^2 (M+m)}$