Номер 7, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Движение твёрдых и деформируемых тел. Глава 7. Движение твёрдого тела. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Упражнение 13 - номер 7, страница 388.

Условие.

7. Космонавт массой $\text{m}$ приближается к космическому кораблю массой $\text{M}$ с помощью троса, длина которого $\text{L}$. На какие расстояния $l_m$ и $l_M$ переместятся космонавт и корабль до сближения?

Решение.

Дано:

Масса космонавта: $m$

Масса космического корабля: $M$

Начальное расстояние между космонавтом и кораблем (длина троса): $L$

Найти:

Расстояние, которое переместится космонавт: $l_m$

Расстояние, которое переместится корабль: $l_M$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из космонавта и космического корабля. Силы взаимодействия между ними (сила натяжения троса) являются внутренними для этой системы. Так как действие происходит в открытом космосе, внешними силами можно пренебречь. Следовательно, система "космонавт-корабль" является замкнутой.

Поскольку на систему не действуют внешние силы, а начальный суммарный импульс системы равен нулю (космонавт и корабль покоятся друг относительно друга), центр масс системы будет оставаться неподвижным в течение всего процесса сближения. Это означает, что космонавт и корабль встретятся в их общем центре масс.

Пусть $l_m$ – расстояние, которое пройдет космонавт до встречи, а $l_M$ – расстояние, которое пройдет корабль. В сумме они полностью сократят начальное расстояние $L$ между ними, то есть:

$l_m + l_M = L$

Для замкнутой системы, центр масс которой неподвижен, справедливо соотношение, связывающее массы тел и пройденные ими расстояния до точки встречи (центра масс):

$m \cdot l_m = M \cdot l_M$

Это соотношение также можно получить из закона сохранения импульса. В любой момент времени импульсы космонавта и корабля равны по модулю и противоположны по направлению: $m \vec{v}_m = -M \vec{v}_M$. Проинтегрировав скорости по времени, получим аналогичное соотношение для перемещений.

Таким образом, мы имеем систему из двух уравнений:

1) $l_m + l_M = L$

2) $m \cdot l_m = M \cdot l_M$

Из второго уравнения выразим $l_m$:

$l_m = \frac{M}{m} l_M$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{M}{m} l_M + l_M = L$

Вынесем $l_M$ за скобки:

$l_M \left(\frac{M}{m} + 1\right) = L$

$l_M \left(\frac{M+m}{m}\right) = L$

Отсюда находим расстояние, которое пройдет корабль:

$l_M = \frac{m L}{m+M}$

Чтобы найти расстояние, которое пройдет космонавт, подставим полученное значение $l_M$ в первое уравнение:

$l_m = L - l_M = L - \frac{m L}{m+M} = \frac{L(m+M) - m L}{m+M} = \frac{mL + ML - mL}{m+M} = \frac{ML}{m+M}$

Ответ: Расстояние, на которое переместится космонавт: $l_m = \frac{M L}{m+M}$. Расстояние, на которое переместится корабль: $l_M = \frac{m L}{m+M}$.