Номер 5, страница 387 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 13. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 5, страница 387.

Условие.

5. На абсолютно гладкой горизонтальной плоскости лежит обруч. На обруче находится жук. Какие траектории будут описывать жук и центр обруча, если жук начнёт двигаться вдоль обруча? Масса обруча $\text{M}$ и радиус $\text{R}$, масса жука $\text{m}$.

Решение.

Дано:

Масса обруча: $M$
Радиус обруча: $R$
Масса жука: $m$
Поверхность: абсолютно гладкая горизонтальная плоскость.
Начальные скорости обруча и жука равны нулю.

Найти:

Траекторию движения жука.
Траекторию движения центра обруча.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из обруча и жука. Поскольку обруч находится на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, внешние силы в горизонтальном направлении на систему не действуют. Силы тяжести и нормальной реакции опоры, действующие в вертикальном направлении, уравновешивают друг друга.

В соответствии с законом сохранения импульса, так как сумма внешних сил, действующих на систему в горизонтальной плоскости, равна нулю, то горизонтальная составляющая полного импульса системы сохраняется. В начальный момент времени система покоилась, поэтому ее полный импульс был равен нулю. Следовательно, он будет оставаться равным нулю и во время движения.

Нулевой полный импульс системы означает, что ее центр масс остается неподвижным. Выберем лабораторную систему отсчета так, чтобы ее начало совпадало с положением центра масс системы.

Пусть $\vec{r}_ж$ — радиус-вектор жука, а $\vec{r}_ц$ — радиус-вектор центра обруча в этой системе отсчета. По определению положения центра масс, для нашей системы должно выполняться условие:

$m\vec{r}_ж + M\vec{r}_ц = \vec{0}$

Из этого соотношения следует, что векторы $\vec{r}_ж$ и $\vec{r}_ц$ в любой момент времени коллинеарны и направлены в противоположные стороны.

$\vec{r}_ц = -\frac{m}{M}\vec{r}_ж$

Жук всегда находится на обруче, поэтому расстояние между ним и центром обруча постоянно и равно радиусу обруча $R$:

$|\vec{r}_ж - \vec{r}_ц| = R$

Подставим в это уравнение выражение для $\vec{r}_ц$, чтобы найти траекторию жука:

$|\vec{r}_ж - (-\frac{m}{M}\vec{r}_ж)| = R$

$|\vec{r}_ж (1 + \frac{m}{M})| = R$

$|\vec{r}_ж| \frac{M+m}{M} = R$

Отсюда находим модуль радиус-вектора жука:

$|\vec{r}_ж| = \frac{M}{M+m}R$

Поскольку модуль радиус-вектора жука $|\vec{r}_ж|$ является постоянной величиной, а его начало находится в неподвижной точке (центре масс), траекторией движения жука является окружность.

Аналогично найдем траекторию центра обруча. Выразим $\vec{r}_ж$ через $\vec{r}_ц$: $\vec{r}_ж = -\frac{M}{m}\vec{r}_ц$. Подставим в уравнение для расстояния:

$|(-\frac{M}{m}\vec{r}_ц) - \vec{r}_ц| = R$

$|-\vec{r}_ц (\frac{M}{m} + 1)| = R$

$|\vec{r}_ц| \frac{M+m}{m} = R$

Отсюда находим модуль радиус-вектора центра обруча:

$|\vec{r}_ц| = \frac{m}{M+m}R$

Модуль радиус-вектора центра обруча $|\vec{r}_ц|$ также является постоянной величиной. Следовательно, траекторией движения центра обруча также является окружность с центром в неподвижном центре масс системы.

Траектория жука

Жук движется по окружности вокруг неподвижного центра масс системы "жук + обруч". Радиус этой окружности составляет $R_ж = \frac{M}{M+m}R$.

Ответ: Окружность радиусом $R_ж = \frac{M}{M+m}R$.

Траектория центра обруча

Центр обруча движется по окружности вокруг того же неподвижного центра масс системы. Радиус этой окружности составляет $R_ц = \frac{m}{M+m}R$.

Ответ: Окружность радиусом $R_ц = \frac{m}{M+m}R$.