Номер 9, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 13. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 9, страница 388.

Условие.

9. На концах и в середине невесомого стержня длиной $\text{l}$ укреплены одинаковые шарики. Стержень ставят вертикально и отпускают. Считая, что трение между полом и нижним шариком отсутствует, найдите скорость верхнего шарика в момент удара о горизонтальную плоскость.

Решение.

Дано:

$l$ – длина невесомого стержня
На концах и в середине стержня закреплены три одинаковых шарика
$m$ – масса каждого шарика
Трение между полом и нижним шариком отсутствует
$g$ – ускорение свободного падения

Найти:

$v_в$ – скорость верхнего шарика в момент удара о горизонтальную плоскость

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из трех шариков. Поскольку стержень невесом, трение отсутствует, а сила реакции опоры, действующая на нижний шарик, перпендикулярна его перемещению (он движется только горизонтально), то работа неконсервативных сил равна нулю. Сила тяжести является консервативной. Следовательно, для данной системы выполняется закон сохранения механической энергии.

Также на систему в горизонтальном направлении не действуют внешние силы, поэтому горизонтальная составляющая импульса системы сохраняется.

1. Закон сохранения механической энергии.

Выберем за нулевой уровень потенциальной энергии горизонтальную плоскость, на которой стоит стержень.

Начальное состояние (стержень стоит вертикально):

Система покоится, поэтому начальная кинетическая энергия $E_{к1} = 0$.

Начальная потенциальная энергия системы равна сумме потенциальных энергий трех шариков. Нижний шарик находится на высоте 0, средний – на высоте $l/2$, а верхний – на высоте $l$.

$E_{п1} = mg \cdot 0 + mg \frac{l}{2} + mgl = \frac{3}{2}mgl$

Полная начальная энергия системы: $E_1 = E_{к1} + E_{п1} = \frac{3}{2}mgl$.

Конечное состояние (стержень лежит на плоскости в момент удара):

Все три шарика находятся на нулевом уровне, поэтому конечная потенциальная энергия системы $E_{п2} = 0$.

Конечная кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий шариков. Обозначим скорости нижнего, среднего и верхнего шариков как $v_н$, $v_с$ и $v_в$ соответственно.

$E_{к2} = \frac{1}{2}mv_н^2 + \frac{1}{2}mv_с^2 + \frac{1}{2}mv_в^2$

Полная конечная энергия системы: $E_2 = E_{к2} + E_{п2} = \frac{1}{2}m(v_н^2 + v_с^2 + v_в^2)$.

Приравнивая начальную и конечную энергию ($E_1 = E_2$), получаем:

$\frac{3}{2}mgl = \frac{1}{2}m(v_н^2 + v_с^2 + v_в^2)$

Сократив на $m/2$, получим уравнение (1):

$3gl = v_н^2 + v_с^2 + v_в^2$

2. Закон сохранения горизонтального импульса и кинематика.

В начальном состоянии система покоилась, поэтому ее импульс был равен нулю. Горизонтальная составляющая импульса сохраняется, так что и в конечном состоянии она должна быть равна нулю.

$m v_{нx} + m v_{сx} + m v_{вx} = 0$, где $v_{нx}, v_{сx}, v_{вx}$ – горизонтальные проекции скоростей шариков.

$v_{нx} + v_{сx} + v_{вx} = 0$

В момент удара стержень расположен горизонтально. Так как стержень – твердое тело, все его точки в этот момент должны иметь одинаковую горизонтальную составляющую скорости (иначе бы он растягивался или сжимался). Обозначим ее $v_x$.

$v_{нx} = v_{сx} = v_{вx} = v_x$

Подставляя это в закон сохранения импульса, получаем $3v_x = 0$, откуда $v_x = 0$.

Таким образом, в момент удара горизонтальные составляющие скоростей всех трех шариков равны нулю.

Нижний шарик может двигаться только вдоль горизонтальной плоскости, поэтому его вертикальная составляющая скорости всегда равна нулю. Следовательно, его полная скорость в конечный момент времени равна нулю: $v_н = 0$.

Это означает, что в конечный момент времени движение стержня представляет собой чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через нижний шарик. Пусть угловая скорость вращения равна $\omega$. Тогда линейные скорости среднего и верхнего шариков, направленные вертикально вниз, равны:

$v_с = \omega \cdot \frac{l}{2}$

$v_в = \omega \cdot l$

3. Вычисление скорости.

Подставим найденные выражения для скоростей в уравнение сохранения энергии (1):

$3gl = 0^2 + \left(\omega \frac{l}{2}\right)^2 + (\omega l)^2$

$3gl = \frac{\omega^2 l^2}{4} + \omega^2 l^2 = \frac{5}{4}\omega^2 l^2$

Выразим отсюда квадрат угловой скорости:

$\omega^2 = \frac{3gl \cdot 4}{5l^2} = \frac{12g}{5l}$

Нас интересует скорость верхнего шарика $v_в = \omega l$. Возведем это выражение в квадрат:

$v_в^2 = \omega^2 l^2 = \left(\frac{12g}{5l}\right) l^2 = \frac{12gl}{5}$

Извлекая квадратный корень, находим искомую скорость:

$v_в = \sqrt{\frac{12gl}{5}}$

Ответ: Скорость верхнего шарика в момент удара о горизонтальную плоскость равна $v = \sqrt{\frac{12gl}{5}}$.