Номер 3, страница 387 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 13. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 3, страница 387.

Условие.

3. На закреплённый в вертикальном положении болт навинчена однородная пластинка (рис. 7.26). Пластинку раскрутили так, что она свинчивается с болта. Трение считать пренебрежимо малым. Как будет двигаться пластинка, когда она, покинув болт, начнёт свободно падать?

Рис. 7.26

Решение.

Решение

Движение пластинки можно разделить на два этапа: движение по резьбе болта и свободное падение после схода с него.

1. Когда пластинка свинчивается с болта, она совершает одновременно поступательное движение вниз и вращательное движение вокруг оси болта. Поскольку трение пренебрежимо мало, полная механическая энергия системы "пластинка-Земля" сохраняется. По мере движения вниз потенциальная энергия пластинки ($U=mgh$) уменьшается, переходя в кинетическую энергию. Кинетическая энергия, в свою очередь, состоит из энергии поступательного движения ($K_{пост}=\frac{1}{2}mv^2$) и энергии вращательного движения ($K_{вращ}=\frac{1}{2}I\omega^2$). Следовательно, в процессе свинчивания и вертикальная скорость $v$, и угловая скорость $\omega$ пластинки возрастают.

2. В момент, когда пластинка покидает болт, она имеет некоторую начальную вертикальную скорость и начальную угловую скорость вращения. После этого момента единственной силой, действующей на пластинку, является сила тяжести $m\vec{g}$ (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Рассмотрим, как эта сила влияет на два вида движения пластинки:

Поступательное движение: Сила тяжести постоянна по величине и направлена вертикально вниз. Согласно второму закону Ньютона, $\vec{F}=m\vec{a}$, эта сила сообщает пластинке постоянное ускорение $\vec{a}=\vec{g}$. Это означает, что центр масс пластинки будет двигаться равноускоренно вниз — то есть, совершать свободное падение.

Вращательное движение: Пластинка однородна, поэтому её центр масс находится в её геометрическом центре. Сила тяжести приложена к центру масс тела. Вращающий момент (момент силы) $\vec{\tau}$ относительно оси, проходящей через центр масс, равен $\vec{\tau}=\vec{r} \times \vec{F}$, где $\vec{r}$ — радиус-вектор от оси к точке приложения силы. Так как сила тяжести приложена к центру масс, то $\vec{r}=0$, и, следовательно, момент силы тяжести относительно центра масс равен нулю ($\vec{\tau}=0$).

Согласно закону сохранения момента импульса, если суммарный внешний вращающий момент, действующий на тело, равен нулю, то момент импульса $\vec{L}$ тела сохраняется ($\vec{L}=const$). Момент импульса твердого тела связан с угловой скоростью соотношением $\vec{L}=I\vec{\omega}$, где $I$ — момент инерции тела. Так как пластинка — твердое тело, её момент инерции $I$ постоянен. Из сохранения $\vec{L}$ следует, что и угловая скорость вращения $\vec{\omega}$ останется постоянной.

Таким образом, после схода с болта пластинка будет участвовать в сложном движении, представляющем собой комбинацию двух независимых движений: равноускоренного поступательного движения вниз (свободное падение) и равномерного вращательного движения вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр масс.

Ответ: Покинув болт, пластинка будет двигаться вниз с постоянным ускорением свободного падения $g$ и одновременно равномерно вращаться вокруг своей вертикальной оси с той угловой скоростью, которую она имела в момент схода с болта.