Номер 8, страница 388 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 13. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 8, страница 388.

Условие.

8. На нити, перекинутой через блок с неподвижной осью, подвешены два груза массами $m_1$ и $m_2$ ($m_2 > m_1$). Найдите ускорение центра масс этой системы.

Решение.

Дано:

Массы грузов: $m_1$ и $m_2$

Условие: $m_2 > m_1$

Ускорение свободного падения: $g$

Система считается идеальной: блок и нить невесомы, нить нерастяжима, трение в оси блока и сопротивление воздуха отсутствуют.

Найти:

Ускорение центра масс системы: $a_{цм}$

Решение:

Сначала найдем ускорение, с которым движутся грузы. Поскольку нить нерастяжима, модули ускорений обоих грузов будут одинаковы. Обозначим модуль этого ускорения как $a$. Так как $m_2 > m_1$, груз $m_2$ будет опускаться, а груз $m_1$ — подниматься.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось OY, направленную вниз. Сила натяжения нити $T$ одинакова для обоих грузов.

Для груза $m_1$ (движется вверх, против оси OY):

$m_1g - T = m_1(-a) \implies T - m_1g = m_1a$

Для груза $m_2$ (движется вниз, по оси OY):

$m_2g - T = m_2a$

Получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} T - m_1g = m_1a \\ m_2g - T = m_2a \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить силу натяжения $T$:

$(T - m_1g) + (m_2g - T) = m_1a + m_2a$

$m_2g - m_1g = (m_1 + m_2)a$

Отсюда выразим модуль ускорения грузов $a$:

$a = g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}$

Теперь найдем ускорение центра масс системы. По определению, радиус-вектор центра масс системы двух тел равен:

$\vec{r}_{цм} = \frac{m_1 \vec{r}_1 + m_2 \vec{r}_2}{m_1 + m_2}$

Ускорение центра масс — это вторая производная от радиус-вектора по времени:

$\vec{a}_{цм} = \frac{d^2\vec{r}_{цм}}{dt^2} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$

Запишем это уравнение в проекции на нашу ось OY:

$a_{цм} = \frac{m_1 a_{1y} + m_2 a_{2y}}{m_1 + m_2}$

Проекция ускорения груза $m_1$ на ось OY равна $a_{1y} = -a$, так как он движется вверх. Проекция ускорения груза $m_2$ равна $a_{2y} = a$, так как он движется вниз.

Подставим эти значения:

$a_{цм} = \frac{m_1(-a) + m_2(a)}{m_1 + m_2} = \frac{a(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2}$

Теперь подставим в это выражение найденное ранее значение для модуля ускорения $a$:

$a_{цм} = \left( g \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} = g \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)^2$

Поскольку все величины в правой части формулы положительны ($g > 0$, а дробь возведена в квадрат), то $a_{цм} \geq 0$. В нашей системе координат это означает, что ускорение центра масс направлено вертикально вниз (или равно нулю, если массы равны).

Ответ:

Ускорение центра масс системы равно $a_{цм} = g \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right)^2$ и направлено вертикально вниз.