Номер 6, страница 387 - гдз по физике 10 класс учебник Мякишев, Синяков

Упражнение 13. Параграф 7.5. Примеры решения задач. Глава 7. Движение твёрдого тела. Движение твёрдых и деформируемых тел - номер 6, страница 387.

Условие.

6. Для создания искусственной силы тяжести на пассивном участке полёта две части космического корабля (отношение масс 1 : 2) развели на расстояние L между центрами масс частей и раскрутили вокруг общего центра масс. Определите период вращения, если искусственная сила тяжести, действующая на все тела в более массивной части корабля, в два раза меньше силы тяжести на Земле.

Решение.

Дано:

Отношение масс частей корабля: $m_1 : m_2 = 1 : 2$

Расстояние между центрами масс частей: $L$

Искусственная сила тяжести в более массивной части: $a_2 = g/2$, где $g$ – ускорение свободного падения на Земле.

Найти:

Период вращения $T$.

Решение:

Система состоит из двух частей космического корабля с массами $m_1$ и $m_2$, которые вращаются вокруг общего центра масс (ЦМ). Согласно условию, $m_1/m_2 = 1/2$. Обозначим массу меньшей части $m_1 = m$, тогда масса большей части будет $m_2 = 2m$.

Пусть $r_1$ и $r_2$ – это расстояния от общего центра масс до центров масс первой и второй частей соответственно. По определению положения центра масс для системы из двух тел:

$m_1 r_1 = m_2 r_2$

Подставляя массы, получаем:

$m \cdot r_1 = 2m \cdot r_2$

$r_1 = 2r_2$

Общее расстояние $L$ между частями корабля равно сумме расстояний $r_1$ и $r_2$:

$L = r_1 + r_2$

Подставим в это уравнение выражение для $r_1$:

$L = 2r_2 + r_2 = 3r_2$

Отсюда мы можем найти радиус вращения для более массивной части корабля ($m_2$):

$r_2 = \frac{L}{3}$

Искусственная сила тяжести создается за счет центростремительного ускорения $a_2$, которое возникает при вращении. Это ускорение связано с угловой скоростью $\omega$ и радиусом вращения $r_2$ формулой:

$a_2 = \omega^2 r_2$

Угловая скорость $\omega$ связана с периодом вращения $T$ следующим соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Подставим выражение для угловой скорости в формулу для ускорения:

$a_2 = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 r_2 = \frac{4\pi^2 r_2}{T^2}$

По условию задачи, центростремительное ускорение в более массивной части в два раза меньше ускорения свободного падения на Земле:

$a_2 = \frac{g}{2}$

Теперь приравняем два полученных выражения для $a_2$:

$\frac{g}{2} = \frac{4\pi^2 r_2}{T^2}$

Подставим в это уравнение найденное значение радиуса $r_2 = L/3$:

$\frac{g}{2} = \frac{4\pi^2}{T^2} \cdot \frac{L}{3} = \frac{4\pi^2 L}{3T^2}$

Выразим из полученного уравнения $T^2$:

$g \cdot 3T^2 = 2 \cdot 4\pi^2 L$

$3gT^2 = 8\pi^2 L$

$T^2 = \frac{8\pi^2 L}{3g}$

Чтобы найти период $T$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$T = \sqrt{\frac{8\pi^2 L}{3g}} = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{2L}{3g}}$